Bicorn

Dalam geometri, bicorn adalah sebuah kurva kuartik rasional yang didefinisikan dengan persamaan^[1]$${\displaystyle y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.}$$

Kurva ini mempunyai dua taring dalam simetrik mengenai sumbu-${\displaystyle y}$.^[2] Kurva bicorn dikenal sebagai kurva topi berbentuk segitiga lantaran mempunyai kemiripannya dengan topi bicorne.

Pada tahun 1864, James Joseph Sylvester mempelajari kurva bicorn. Kurva dengan persamaan $${\displaystyle y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0}$$ mempunyai kaitannya dengan klasifikasi persamaan kuintik. James Joseph menamakan kurva itu sebagai bicorn karena memiliki dua taring. Kurva ini dipelajari lebih lanjut oleh Arthur Cayley pada tahun 1867.^[3]

Bicorn merupakan sebuah kurva aljabar bidang derajat empat dan genus nol. Bicorn mempunyai dua taring yang tunggal di bidang real, dan mempunyai sebuah titik ganda dalam bidang proyektif kompleks di ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle z=0}$. Jika kedua titik tersebut (yakni, ${\displaystyle x=0}$ dan ${\displaystyle z=0}$) dipindahkan ke titik asalnya, dengan mensubstitusi dan memutar rotasi imajiner pada ${\displaystyle x}$, tetapi mensubstitusi ${\textstyle {\frac {ix}{z}}}$ untuk ${\displaystyle x}$ dan ${\textstyle {\frac {1}{z}}}$ untuk ${\displaystyle y}$ dalam kurva bicorn, akan diperoleh $${\displaystyle (x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.}$$

Kurva ini, yang merupakan limaçon, mempunyai sebuah titik ganda biasa di titik asalnya, dan dua simpul di bidang kompleks, di ${\displaystyle x=\pm i}$ dan ${\displaystyle z=1}$.

Persamaan-persamaan parametrik dari kurva bicorn adalah $${\displaystyle x=a\sin(\theta )}$$ dan $${\displaystyle y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta )\left(2+\cos(\theta )\right)}{3+\sin ^{2}(\theta )}}}$$ dengan ${\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi }$.

• Daftar kurva-kurva

1. ^ Lawrence, J. Dennis (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. hlm. 147–149. ISBN 0-486-60288-5.
2. ^ "Bicorn". mathcurve.
3. ^ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester. Vol. II. Cambridge: Cambridge University press. 1908. hlm. 468.

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Bicorn". MathWorld.