Grup terurut

Dalam aljabar abstrak, grup berurutan adalah grup ( G , +) dilengkapi dengan urutan parsial "≤" yaitu translation-invariant ; dengan kata lain, "≤" memiliki properti itu, untuk semua a , b , dan g pada G, jika a ≤ b kemudian a + g ≤ b + g dan g + a ≤ g + b.

Sebuah elemen x dari G disebut elemen positif jika 0 ≤ x. Himpunan elemen 0 ≤ x sering dilambangkan dengan G⁺, dan itu disebut kerucut positif G. Jadi kita punya a ≤ b jika dan hanya jika -a + b ∈ G⁺.

Berdasarkan definisi tersebut, kita dapat mengurangi urutan parsial menjadi sifat monad: a ≤ b jika dan hanya jika 0 ≤ -a + b.

Untuk grup umum G , keberadaan kerucut positif menentukan urutan pada G . Grup G adalah grup yang diurutkan sebagian jika dan hanya jika terdapat subset H (yaitu G⁺) dari G sedemikian rupa sehingga:

• 0 ∈ H
• jika a ∈ H dan b ∈ H kemudian a + b ∈ H
• if a ∈ H kemudian -x + a + x ∈ H untuk x dari G
• if a ∈ H dan -a ∈ H kemudian a = 0

Grup yang dipesan sebagian G dengan kerucut positif G⁺ dikatakan tidak berlubang jika n · g ∈ G⁺ untuk beberapa bilangan bulat positif n menyiratkan g ∈ G⁺. Menjadi tidak berlubang berarti tidak ada "celah" di kerucut positif G⁺.

Jika orde pada grup adalah urutan linear, maka dikatakan sebagai grup urutan linear. Jika urutan pada grup adalah urutan kisi, yaitu dua elemen memiliki batas atas terkecil, maka itu adalah grup kisi (singkatnya l-group, meskipun biasanya diketik dengan skrip l: ℓ-grup).

Grup Riesz adalah grup terurut sebagian tidak berlubang dengan properti sedikit lebih lemah daripada grup berurutan kisi. Yaitu, grup Riesz memenuhi properti interpolasi Riesz: if x₁, x₂, y₁, y₂ adalah elemen G dan x_i ≤ y_j, lalu ada z ∈ G dirumuskan x_i ≤ z ≤ y_j.

Jika G dan H adalah dua grup yang diurutkan sebagian, peta dari G hingga H adalah morfisme grup yang diurutkan sebagian jika keduanya adalah grup homomorfisme dan fungsi monotonik. Grup yang berurutan sebagian, bersama dengan gagasan morfisme ini, membentuk kategori.

Grup yang diurutkan sebagian digunakan dalam definisi penilaian dari bidang.

• Gelanggang terurut sebagian
• Grup urutan linear
• Grup urutan siklus
• Grup urutan tertutup secara integral

• M. Anderson and T. Feil, Lattice Ordered Groups: an Introduction, D. Reidel, 1988.
• M. R. Darnel, The Theory of Lattice-Ordered Groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 187, Marcel Dekker, 1995.
• L. Fuchs, Partially Ordered Algebraic Systems, Pergamon Press, 1963.
• A. M. W. Glass, Ordered Permutation Groups, London Math. Soc. Lecture Notes Series 55, Cambridge U. Press, 1981.
• V. M. Kopytov and A. I. Kokorin (trans. by D. Louvish), Fully Ordered Groups, Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
• V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, Right-ordered groups, Siberian School of Algebra and Logic, Consultants Bureau, 1996.
• V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, The Theory of Lattice-Ordered Groups, Mathematics and its Applications 307, Kluwer Academic Publishers, 1994.
• R. B. Mura and A. Rhemtulla, Orderable groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5, chap. 9.
• G.A. Elliott, On the classification of inductive limits of sequences of semisimple finite-dimensional algebras, J. Algebra, 38 (1976)29-44.

• "Partially Ordered Group". Encyclopedia of Mathematics. Diarsipkan dari asli tanggal 2009-12-27. Diakses tanggal 2009-04-03.
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lattice-ordered_group Diarsipkan 2014-12-25 di Wayback Machine.