Integral Riemann

Integral sebagai luas daerah pada bagian bawah kurva.
Urutan jumlah Riemann pada partisi reguler dari suatu interval. Bilangan diatas adalah total luas persegi panjang, yang konvergensinya ke integral fungsi.
Partisi tidak harus reguler, seperti yang ditunjukkan dibagian ini. Aproksimasi bekerja selama lebar setiap sub-pembagian cenderung ke nol.

Dalam cabang matematika yang disebut juga sebagai analisis real, integral Riemann, yang dibuat oleh Bernhard Riemann, adalah definisi bagian pertama suatu integral dari fungsi terhadap selang. Hal tersebut dipresentasikan ke fakultas di Universitas Göttingen pada tahun 1854, namun tidak diterbitkan dalam jurnal sampai tahun 1868.[1] Untuk banyak fungsi dan aplikasi praktis, integral Riemann dievaluasikan dengan teorema dasar kalkulus maupun dengan integrasi numerik.

Integral Riemann tidak cocok untuk banyak tujuan teoretis. Beberapa kekurangan teknis dalam integral Riemann diperbaiki dengan integral Riemann–Stieltjes, dan sebagian besar menghilang dengan integral Lebesgue, meskipun yang terakhir tidak memiliki perlakuan yang memuaskan untuk integral takwajar. Integral Henstock–Kurzweil adalah generalisasi integral Lebesgue yang sekaligus lebih dekat ke integral Riemann. Teori-teori yang lebih umum ini memungkinkan integrasi fungsi yang lebih "bergerigi" atau "sangat berosilasi" pada bagian integral Riemann yang tidak ada; tetapi teori memberikan nilai yang sama dengan integral Riemann jika memang ada.

Dalam pengaturan pendidikan, integral Darboux menawarkan definisi yang lebih sederhana dan yang lebih mudah digunakan; biasanya digunakan untuk memperkenalkan integral Riemann. Integral Darboux didefinisikan setiap kali pada integral Riemann, dan selalu memberikan hasil yang sama. Sebaliknya, integral Henstock–Kurzweil adalah generalisasi integral Riemann yang sederhana namun lebih kuat dan telah mengarahkan beberapa pendidik untuk menganjurkan bahwa hal itu harus menggantikan integral Riemann dalam kursus kalkulus pengantar.[2]

Ikhtisar

Misalkan merupakan fungsi bernilai real taknegatif pada interval , dan misalnya

sebagai wilayah bidang bawah pada grafik fungsi dan atas interval (lihat gambar pada bagian kanan atas). Apabila tertarik untuk mengukur luas . Setelah mengukurnya, kita akan menunjukkan luas dengan:

.

Ide dasar integral Riemann adalah menggunakan pendekatan yang sederhana untuk luas . Dengan mengambil aproksimasi yang lebih baik dan lebih baik, kita mengatakan bahwa "dalam batas" kita mendapatkan luas yang tepat pada bagian bawah kurva.

Dimana keduanya bisa menjadi positif dan negatif, definisi dimodifikasi, sehingga integralnya sesuai dengan luas bertanda pada bagian bawah grafik : yaitu, luas atas sumbu- dikurangi luas bawah sumbu-.

Definisi

Partisi selang

Sebuah partisi selang adalah barisan bilangan hingga berbentuk

Setiap [xi, xi + 1] disebut sub-selang dari partisi. Jaring atau norma partisi didefinisikan sebagai panjang sub-selang terpanjang, yaitu,

.

Partisi tanda dari suatu interval adalah partisi bersama dengan barisan bilangan hingga bersubjek pada syarat bahwa untuk setiap , . Dengan kata lain, itu adalah partisi bersama dengan titik yang dibedakan dari setiap sub-selang. Jaring partisi yang diberi tag sama dengan partisi biasa.

Misalkan dua partisi dan keduanya merupakan partisi dari interval . Bahwa adalah penghalusan dari jika untuk setiap bilangan bulat , dengan adalah bilangan bulat sehingga dan sehingga untuk suatu dengan . Dengan lebih sederhana, penghalusan partisi tanda memecahkan beberapa sub-selang dan menambahkan tanda ke partisi (jika perlu), sehingga "penghalus" sebagai keakuratan partisi.

Maka, kita dapat mengubah himpunan semua partisi tanda menjadi himpunan berarah dengan satu partisi tanda besar lebih dari atau sama dengan yang lain jika yang pertama adalah penghalusan dari yang terakhir.

Jumlah Riemann

Misalkan adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval . Jumlah Riemann dari berhubung dengan partisi tanda bersama dengan adalah[3]

.

Setiap istilah dalam jumlah adalah darab dari nilai fungsi pada titik tertentu dan panjang interval. Akibatnya, setiap istilah mewakili luas (bertanda) persegi panjang dengan tinggi dan lebar . Jumlah Riemann adalah luas (bertanda) dari semua persegi panjang.

Konsep yang terkait adalah jumlah Darboux bawah dan atas. Ini mirip seperti dengan jumlah Riemann, namun tanda diganti dengan infimum dan supremum (masing-masing) dari f untuk setiap sub-selang:

Jika adalah kontinu, maka jumlah Darboux bawah dan atas untuk partisi tak-bertanda sama dengan jumlah Riemann untuk partisi itu, dimana tanda dipilih sebagai minimum atau maksimum (masing-masing) pada setiap sub-selang? Ketika terputus dengan sub-selang, mungkin tidak ada tanda yang mencapai infimum atau supremum pada sub-selang tersebut. Integral Darboux yang mirip dengan integral Riemann tetapi berdasarkan jumlah Darboux, setara dengan integral Riemann.

Integral Riemann

Secara khusus, integral Riemann adalah limit dari jumlah Riemann dari suatu fungsi ketika partisi menjadi halus. Apabila limitnya ada, maka fungsi tersebut dikatakan terintegrasi (atau lebih spesifik terintegrasi-Riemann). Jumlah Riemann dapat dibuat sedekat yang diinginkan dengan integral Riemann dengan membuat partisi halus.[4]

Salah satu persyaratan penting adalah bahwa hubungan partisi menjadi lebih kecil dan lebih kecil, sehingga dalam limitnya adalah nol. Jika tidak demikian, maka kita tidak akan mendapatkan aproksimasi yang baik untuk fungsi pada sub-selang tertentu. Sebenarnya, hal ini cukup untuk mendefinisikan integral. Untuk lebih spesifik, dengan menyatakan bahwa integral Riemann dari sama dengan jika kondisi berikut berlaku:

Untuk semua , terdapat sehingga untuk partisi bertanda dan yang hubungannya kurang dari , maka

.

Sayangnya, definisi ini sangat sulit digunakan. Hal ini akan membantu untuk mengembangkan definisi yang setara dari integral Riemann yang lebih mudah untuk dikerjakan. Kita mengembangkan definisi ini sekarang, dengan bukti kesetaraan berikut. Definisi baru kita mengatakan bahwa integral Riemann dari sama dengan jika syarat berikut berlaku:

Untuk semua , terdapat partisi bertanda dan sehingga untuk setiap partisi bertanda dan yang merupakan penghalusan dari dan , kita mempunyai

Pada akhirnya, kedua hal ini berarti bahwa jumlah Riemann dari berhubung dengan setiap partisi akan terungkap dekat . Karena ini benar maupun tidak peduli seberapa dekat kita menuntut jumlah terungkap, kita mengatakan bahwa jumlah Riemann konvergen ke . Definisi ini sebenarnya merupakan kasus khusus dari konsep yang lebih umum yaitu sebuah jaring.

Seperti yang kita nyatakan sebelumnya, kedua definisi ini adalah ekuivalen. Dengan kata lain, berfungsi dalam definisi pertama jika dan hanya jika berfungsi dalam definisi kedua. Untuk menunjukkan bahwa definisi pertama menyatakan definisi kedua, mulailah dengan , dan pilih yang memenuhi kondisi. Pilih partisi bertanda yang hubungannya kurang dari . Jumlah Riemann-nya berada dalam dari , dan setiap penghalusan dari partisi ini juga akan memiliki hubungan kurang dari , jadi jumlah Riemann dari penghalusan juga akan berada dalam dari .

Untuk menunjukkan bahwa definisi kedua menyatakan definisi pertama, paling mudah menggunakan integral Darboux. Pertama, satu menunjukkan bahwa definisi kedua setara dengan definisi integral Darboux; untuk ini lihat artikel integral Darboux. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa fungsi integral Darboux memenuhi definisi pertama. Menetapkan , dan pilih partisi sehingga jumlah Darboux bawah dan atas sehubungan dengan partisi ini berada dalam dari nilai integral Darboux. Maka

.

Jika , maka adalah fungsi nol, yang jelas merupakan integral Darboux dan Riemann dengan integral nol. Oleh karena itu, kita akan mengasumsikan bahwa . Jika , maka kita memilih sehingga

Jika , maka kita memilih kurang dari satu. Pilih partisi bertanda dan dengan hubungan lebih kecil dari . Kita harus menunjukkan bahwa jumlah Riemann berada dalam dari .

Untuk melihat ini, pilih selang . Jika selang ini terdapat dalam beberapa , maka

dimana dan , infimum dan supremum dari pada . Jika semua selang memiliki sifat ini, maka ini akan menyimpulkan buktinya, karena setiap suku dalam jumlah Riemann akan dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux, dan kita memilih jumlah Darboux yang mendekati . Ini adalah kasus ketika menjadi bukti yang selesai dalam kasus itu.

Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan . Dalam hal ini, mungkin salah satu dari tidak terkandung dalam [yj, yj + 1]. Sebaliknya, hal tersebut mungkin membentang dua selang yang ditentukan oleh . Hal itu tidak dapat memenuhi tiga interval karena diasumsikan lebih kecil dari panjang salah satu interval. Dalam simbol, maka

.

Kita berasumsi bahwa semua pertidaksamaan ketat karena jika tidak, kita berada dalam kasus sebelumnya dengan asumsi panjang . Ini bisa saja terbukti paling banyak mengkali .

Untuk menangani kasus ini, kita akan memperkirakan perbedaan antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux dengan membagi partisi di . Penyebutan dalam jumlah Riemann dibagi menjadi dua penyebut:

Misalkan, tanpa kehilangan keumuman, bahwa . Maka

,

jadi suku ini dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux untuk . Untuk mengikat bentuk lainnya, perhatikan bahwa

,

Oleh karena itu, untuk suatu (memang ada) ,

.

Karena ini terjadi paling banyak mengkali , jarak antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux paling banyak . Oleh karena itu, jarak antara jumlah Riemann dan paling banyak ε.

Contoh

Misalkan sebagai fungsi yang mengambil nilai 1 setiap titik. Setiap jumlah Riemann dari pada akan memiliki nilai 1, oleh karena itu integral Riemann dari pada [0, 1] adalah 1.

Misalkan sebagai fungsi indikator dari bilangan rasional di ; yaitu, mengambil nilai 1 pada bilangan rasional dan 0 pada bilangan irasional. Fungsi ini tidak memiliki integral Riemann. Untuk membuktikan ini, kita akan menunjukkan bagaimana membangun partisi bertanda yang jumlah Riemannnya mendekati nol dan satu secara berurutan.

Untuk memulai, maka dan menjadi partisi bertanda (setiap diantara dan ). Pilihlah . telah dipilih, dan nilai tidak dapat diubah pada titik tersebut. Tetapi jika kita memotong partisi menjadi potongan-potongan kecil disekitar , kita dapat meminimalkan efek . Kemudian, dengan memilih tanda baru secara hati-hati, kita dapat membuat nilai penjumlahan Riemann berada dalam dari nol atau satu.

Langkah pertama kita adalah memotong partisi. Ada dari , dan ingin efek totalnya kurang dari . Jika membatasi masing-masing dari mereka ke selang yang panjangnya kurang dari , maka kontribusi dari setiap pada jumlah Riemann paling sedikit dan paling banyak . Ini setidaknya membuat jumlah total nol dan paling banyak dari . Jadi δ menjadi bilangan positif yang kurang dari . Jika kebetulan dua dari berada dalam δ satu sama lain, pilihlah lebih kecil. Jika terjadi bahwa beberapa berada dalam δ dari beberapa xj, dan ti tidak sama dengan , pilihlah δ lebih kecil. Karena hanya ada dan , kita selalu dapat memilih secukupnya kecil.

Sekarang kita tambahkan dua potongan ke partisi untuk setiap . Salah satu potongan berada di , dan yang lainnya akan berada di . Jika salah satu dari ini meninggalkan selang maka kita tinggalkan. akan menjadi tanda yang sesuai dengan sub-selang

.

Jika berada tepat diatas salah satunya , maka kita misalkan sebagai tanda untuk kedua selang:

dan .

Kita harus memilih tanda untuk sub-selang lainnya. Apabila memilih mereka dalam dua cara yang berbeda. Cara pertama adalah selalu memilih tititk rasional, sehingga jumlah Riemann sebesar mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann setidaknya . Cara kedua adalah selalu memilih titik irasional, sehingga jumlah Riemann sekecil mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann banyak .

Karena baru memulai dari partisi sembarang dan berakhir sedekat yang diinginkan dengan nol atau satu, salah satunya salah untuk mengatakan bahwa akhirnya terjebak dekat suatu bilangan , maka fungsi ini tidak diintegrasikan Riemann. Namun, ini adalah integral Lebesgue. Dalam pengertian Lebesgue integralnya adalah nol, karena fungsinya adalah nol hampir di mana-mana. Tapi ini adalah fakta yang berada di luar jangkauan integral Riemann.

Ada contoh yang buruk lagi. setara (yaitu, hampir sama di semua tempat) dengan fungsi integral Riemann, tetapi ada fungsi-fungsi hingga tak-terintegrasi Riemann yang tak-ekuivalen dengan fungsi-fungsi tak-terintegrasi Riemann mana pun. Misalnya, menjadi himpunan Smith–Volterra–Cantor, dan menjadi fungsi indikatornya. Karena tak-terukur Jordan, maka tidak dapat diintegrasikan Riemann. Selain itu, tidak ada fungsi yang setara dengan yang dapat diintegrasikan Riemann: , seperti yang harus nol pada himpunan rapat, jadi seperti pada contoh sebelumnya, setiap jumlah Riemann dari memiliki penghalusan yang berada dalam dari 0 untuk bilangan positif suatu . Tetapi jika integral Riemann dari memang ada, maka ia harus sama dengan integral Lebesgue dari , yaitu . Oleh karena itu, tidak dapat diintegrasikan Riemann.

Konsep serupa

Sangat populer untuk mendefinisikan integral Riemann sebagai integral Darboux. Ini karena integral Darboux secara teknis lebih sederhana dan karena suatu fungsi dapat terintegral (secara) Riemann jika dan hanya jika terintegral (secara) Darboux.

Beberapa buku kalkulus tidak menggunakan partisi bertanda umum, tetapi limit-diri pada jenis tertentu dari partisi bertanda. Jika jenis partisi memiliki banyak limit, beberapa fungsi tak-terintegralkan mungkin tampak terintegralkan.

Salah satu limit terkenal adalah penggunaan jumlah Riemann "-kiri" dan "-kanan". Dalam jumlah Riemann kiri, untuk semua i, dan dalam jumlah Riemann kanan, untuk semua . Pembatasan ini saja tidak menimbulkan masalah: dapat diperbaiki partisi dengan cara menjadikannya jumlah kiri atau kanan dengan membagi setiap ti. Dalam bahasa formal, himpunan dari semua jumlah Riemann kiri dan himpunan dari semua jumlah Riemann kanan adalah kofinal pada himpunan semua partisi bertanda.

Batasan terkenal lainnya adalah penggunaan sub-pembagi reguler dari suatu selang. Misalnya, subdivisi reguler ke- dari terdiri dari interval

.

Sekali lagi, batasan ini hanya saja tidak menimbulkan masalah, tetapi penalaran yang diperlukan untuk melihat penyesuaian ini lebih sulit daripada dalam kasus penjumlahan Riemann kiri dan kanan.

Namun, menggabungkan batasan ini, sehingga hanya menggunakan jumlah Riemann kiri atau tangan kanan pada selang bertanda reguler, adalah bahaya. Jika suatu fungsi diketahui sebelumnya sebagai integral Riemann, maka teknik ini akan memberikan nilai integral yang benar. Tetapi pada kondisi ini fungsi indikator akan tampak terintegralkan pada dengan integral sama dengan satu: Setiap titik akhir dari setiap sub-selang akan menjadi bilangan rasional, jadi fungsi dievaluasi pada bilangan rasional, dan karena itu akan tampak selalu sama dengan satu. Masalah dengan definisi ini menjadi jelas ketika kita mencoba membagi integral menjadi dua bagian. Persamaan berikutnya berlaku:

.

Jika kita menggunakan pembagian biasa dan jumlah Riemann kiri atau kanan, maka dua suku sebelah kiri sama dengan nol, karena setiap titik akhir kecuali 0 dan 1 akan irasional, tetapi seperti yang telah kita lihat, suku sebelah kanan akan sama dengan 1.

Seperti yang didefinisikan di atas, integral Riemann menghindari masalah ini dengan tidak menggunakan untuk mengintegrasikan Integral Lebesgue didefinisikan sedemikian rupa sehingga semua integral ini adalah 0.

Sifat

Linearitas

Integral Riemann adalah transformasi linear; yaitu, jika dan terintegralkan dengan Riemann pada dan dan adalah konstanta, maka

.

Karena integral Riemann dari suatu fungsi adalah bilangan, ini membuat integral Riemann menjadi fungsional linear pada ruang vektor dari fungsi integral Riemann.

Lihat pula

Catatan

  1. ^ Integral Riemann diperkenalkan dalam makalah Bernhard Riemann "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (terjemahan: Tentang keterwakilan suatu fungsi oleh deret trigonometri; yaitu, ketika suatu fungsi diwakili oleh deret trigonometri). Makalah ini diajukan ke Universitas Göttingen pada tahun 1854 sebagai Habilitationsschrift oleh Riemann (kualifikasi untuk menjadi instruktur). Yang diterbitkan pada tahun 1868 di Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Prosiding Royal Philosophical Society di Göttingen), vol. 13, halaman 87-132. (Tersedia online disini.) Untuk definisi Riemann tentang integralnya, lihat bagian 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (terjemahan: Tentang konsep integral tertentu dan tingkatan validitasnya), halaman 101-103.
  2. ^ "An Open Letter to Authors of Calculus Books". Diakses tanggal 27 Februari 2014. 
  3. ^ Krantz, Steven G. (1991). Real Analysis and Foundations. CRC Press. hlm. 173. ; 2005 edition. ISBN 9781584884835. 
  4. ^ Taylor, Michael E. (2006). Measure Theory and Integration. American Mathematical Society. hlm. 1. ISBN 9780821872468. 

Referensi

  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
  • Apostol, Tom (1974), Mathematical Analysis, Addison-Wesley 

Pranala luar

Templat:Integral Templat:Bernhard Riemann

Baca informasi lainnya:

Artikel ini membahas mengenai bangunan, struktur, infrastruktur, atau kawasan terencana yang sedang dibangun atau akan segera selesai. Informasi di halaman ini bisa berubah setiap saat (tidak jarang perubahan yang besar) seiring dengan penyelesaiannya. The Sheffield TowerInformasi umumStatusDisetujuiLokasiDubai, Uni Emirat ArabPerkiraan rampung2009Data teknisJumlah lantai46Desain dan konstruksiArsitekNational Engineering BureauPengembangNakheel The Sheffield Tower merupakan sebuah menara berting…

Norwegian consumer electronics retailer owned by British Currys plc A major contributor to this article appears to have a close connection with its subject. It may require cleanup to comply with Wikipedia's content policies, particularly neutral point of view. Please discuss further on the talk page. (October 2013) (Learn how and when to remove this template message) ElkjøpIndustryRetailFounded1962HeadquartersNydalen, NorwayKey peopleErik Gunset Sønsterud(CEO: Elkjøp Nordic AS)ProductsConsume…

Postingan 3D Facebook adalah sebuah fitur di situs web jejaring sosial Facebook. Ini pertama kali diaktifkan pada 11 Oktober 2017 dengan memperkenalkan jenis media 3D asli baru di News Feed Facebook. Awalnya pengguna hanya bisa memposting objek 3D dari Oculus Medium dan gambar penanda dari Spaces langsung ke Facebook sebagai objek 3D yang sepenuhnya interaktif. Fitur ini tersedia untuk desktop dan ponsel yang mendukung API WebGL yang mendasarinya.[1] Pada tanggal 20 Februari 2018 Faceboo…

Charlie Dent Membro della Camera dei rappresentanti - Pennsylvania, distretto n.15Durata mandato3 gennaio 2005 - 12 maggio 2018 PredecessorePat Toomey SuccessoreSusan Wild Dati generaliPartito politicoRepubblicano Charles Charlie Dent (Allentown, 24 maggio 1960) è un politico statunitense, membro della Camera dei Rappresentanti per lo stato della Pennsylvania dal 2005 al 2018. Biografia Nato e cresciuto in Pennsylvania, dopo la laurea Dent lavorò come consulente politico e successiva…

SorkamKecamatanPeta lokasi Kecamatan SorkamNegara IndonesiaProvinsiSumatera UtaraKabupatenTapanuli TengahPemerintahan • CamatRosniati Samosir, S.E.[1]Populasi (2021)[2] • Total16.511 jiwa • Kepadatan205/km2 (530/sq mi)Kode pos22560Kode Kemendagri12.01.02 Kode BPS1204060 Luas80,61 km²Desa/kelurahan17 desa4 kelurahan Sorkam adalah sebuah kecamatan di Kabupaten Tapanuli Tengah, Sumatera Utara, Indonesia. Ibu kota kecamatan ini bera…

Carl Bildt Nils Daniel Carl Bildt (lahir 15 Juli 1949) adalah politikus dan diplomat Swedia. Ia menjabat sebagai Perdana Menteri Swedia pada 1991—1994 dan pemimpin Partai Moderat 1986—1999. Pranala luar Situs web resmi Blog resmi Didahului oleh:Ulf Adelsohn Ketua Partai Moderat1986—1999 Diteruskan oleh:Bo Lundgren Didahului oleh:Ingvar Carlsson Perdana Menteri Swedia1991—1994 Diteruskan oleh:Ingvar Carlsson Didahului oleh:tidak ada Anggota Majelis Tinggi untuk Bosnia dan Herzeg…

Kartika Adi Putranta Asdep Koordinasi Kekuatan, Kemampuan dan Kerjasama Pertahanan Kemenko Polhukam Informasi pribadiLahir5 Agustus 1968 (umur 55)Alma materAkademi Militer (1991)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan DaratMasa dinas1991—sekarangPangkat Brigadir Jenderal TNINRP1910036490868SatuanInfanteri (Kopassus)Sunting kotak info • L • B Brigadir Jenderal TNI Antonius Kartika Adi Putranta, S.E.. (lahir 5 Agustus 1968) adalah seorang perwira tingg…

Biara Iona, salah satu markas komunitas iona. Komunitas Iona adalah komunitas yang didirikan oleh George MacLeod pada tahun 1938.[1] Anggota komunitas Iona terdiri dari gabungan kaum awam dan klerus dalam Gereja di Skotlandia.[1] Komunitas Iona mengalami perkembangan pesat dari jumlah anggota yang masih sedikit hingga mencapai ratusan.[2] Anggota dari komunitas ini mencakup segala golongan usia.[2] Tujuan dari didirkannya komunitas Iona ini adalah untuk mendorong …

Chrysobothris harrisi Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Arthropoda Kelas: Insecta Ordo: Coleoptera Famili: Buprestidae Genus: Chrysobothris Spesies: Chrysobothris harrisi Chrysobothris harrisi adalah spesies kumbang yang tergolong ke dalam famili Buprestidae. Spesies ini juga merupakan bagian dari ordo Coleoptera. Spesies Chrysobothris harrisi sendiri merupakan bagian dari genus Chrysobothris yang mencakup setidaknya 690 spesies.[1][2][3][4][5] …

Este artículo se refiere o está relacionado con un proceso electoral reciente o actualmente en curso. La información de este artículo puede cambiar frecuentemente. Por favor, no agregues datos especulativos y recuerda colocar referencias a fuentes fiables para dar más detalles. Véase también: Elección presidencial de El Salvador de 2024 ← 2021 •  • 2027 → Elecciones legislativas de 202460 escaños a la Asamblea Legislativa para la XIV Legislatura31 e…

Medical conditionCorneal dystrophyCorneal dystrophy, Gelatinous drop-likeSpecialtyOphthalmology Corneal dystrophy is a group of rare hereditary disorders characterised by bilateral abnormal deposition of substances in the transparent front part of the eye called the cornea.[1][2][3] Signs and symptoms Corneal dystrophy may not significantly affect vision in the early stages. However, it does require proper evaluation and treatment for restoration of optimal vision. Cornea…

Joe Di Maggio Joe DiMaggio nel 1939 Nazionalità  Stati Uniti Altezza 188 cm Peso 87 kg Baseball Ruolo Esterno centro Termine carriera 11 dicembre 1951 Carriera Squadre di club 1936-1942, 1946-1951 New York Yankees Carriera da allenatore 1968-1969 Oakland AthleticsAll. battitori Statistiche Batte destro Lancia destro Media battuta ,325 Valide 2 214 Punti battuti a casa 1 537 Fuoricampo 361 Punti 1 390 Basi totali 3 948 Basi rubate 30 Palmarès Trofeo Vittorie W…

Mapa étnico de Yemen Según World Population,[1]​ en Yemen había, en 2019, 29.388.000 hab., con una densidad de 53,5 hab/km². La población urbana era del 35,2%, con un máximo en la capital, Saná, de 3,937.000 hab. Ciudades como Taiz, Al Hudayda y Aden tienen en torno a 500.000 hab. La mayor parte de los yemeníes es de origen árabe; no obstante, es una sociedad fuertemente tribal, con cerca de 400 tribus zaidinas o zaidíes en el norte y grupos de castas hereditarias en las zonas ur…

Pengeboman Brussel 2016Stasiun bawah tanah Maelbeek/MaalbeekBandar Udara Brussel Lokasi insiden di BrusselLokasiBandar Udara Brussel dan stasiun bawah tanah Maelbeek/Maalbeek, Brussel, BelgiaKoordinat50°54′05″N 4°29′04″E / 50.90139°N 4.48444°E / 50.90139; 4.48444 (airport)50°50′35″N 4°22′48″E / 50.843190°N 4.380025°E / 50.843190; 4.380025 (stasiun bawah tanah)Tanggal22 Maret 2016 ca. 08:00–09:11 (UTC+1)SasaranWarga sipil, …

Parasit und Schmarotzer sind Weiterleitungen auf diesen Artikel. Zur Bedeutung der Begriffe im zwischenmenschlichen Bereich siehe Sozialschmarotzer. Ein Ektoparasit (Stechmücke) nimmt Körperflüssigkeit eines Wirts (Mensch) auf Parasitismus (von altgriechisch παρά „neben“, und σιτεῖσθαι „essen“), veraltet auch Schmarotzertum, bezeichnet den Ressourcenerwerb mittels eines in der Regel erheblich größeren[1] Organismus einer anderen Art. Meist dient eine Körperfl…

Sebutan umumNama KoreaHangul택견 Alih AksaraTaekgyeonMcCune–ReischauerT'aekkyŏnSebutan kamusHangul태껸 Alih AksaraTaekkyeonMcCune–ReischauerT'aekkyŏn Taekkyeon adalah sebuah seni bela diri tradisional yang berasal dari Korea. Taekkyeon yang mempunyai gerakan seperti orang menari dianggap sebagai cikal bakal beladiri taekwondo modern serta merupakan salah satu olahraga yang tertua di Korea. Lukisan dinding kerajaan Goguryeo yang tergambar di situs Makam Samsil memperlihatkan masyarakat …

KalibawangKapanewonNegara IndonesiaProvinsiDaerah Istimewa YogyakartaKabupatenKulon ProgoPemerintahan • PanewuHeri Darmawan, A.P., M.M.Populasi • Total33,387 jiwa (2.009-BPS BAPPEDA diupdate 24/06/2.013) jiwaKode Kemendagri34.01.12 Kode BPS3401110 Luas5.296,37 km²Desa/kelurahan- Kalibawang (Jawa: ꦏꦭꦶꦧꦮꦁ, translit. Kalibawang) adalah sebuah kecamatan di Kabupaten Kulon Progo, Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, Indonesia. Kalibawang merupakan ka…

IGN

Untuk nama pabrik gula di Indonesia, lihat Industri Gula Nusantara. IGN Entertainment, Inc.Tangkapan layarJenis usahaDivisi dari j2 GlobalBahasaInggris, Jerman, Swedia, Arab, Mandarin, Belanda, Italia, Spanyol, Denmark, Finlandia, Norwegia, Yunani dan RusiaDidirikanSeptember 1996MarkasSan Francisco, California, Amerika SerikatPemilikZiff DavisPendiriJonathan Simpson-BintTokoh pentingDamon Johnson (General Manager) Peer Schneider (Senior Vice President untuk konten dan penerbitan)SektorJurna…

Song by Tom Lehrer and Arthur Sullivan This article is about the Tom Lehrer song. For the unfinished suite by the Beach Boys, see The Elements (suite). The periodic table of the chemical elements The Elements Lehrer sings The Elements Problems playing this file? See media help. The Elements is a song by musical humorist, mathematician and lecturer Tom Lehrer, which recites the names of all the chemical elements known at the time of writing, up to number 102, nobelium. It was written in 1959 and …

Kalatea Calathea zebrina Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Plantae Divisi: Angiospermae Kelas: Monokotil Subkelas: Commelinidae Ordo: Zingiberales Famili: Marantaceae Genus: CalatheaG.Mey. Spesies Lihat teks Kalatea[1] merupakan sekelompok tumbuhan berbunga dalam famili Marantaceae yang membentuk genus Calathea. Sebanyak 200 spesiesnya sekarang dipindahkan ke dalam genus Goeppertia.[2] Genus ini berisi sekitar 60 spesies tumbuhan yang berasal dari Amerika tropis. Banyak spesiesnya yan…

Kembali kehalaman sebelumnya