Jangkauan interkuartil

Dalam statistika deskriptif, jangkauan interkuartil (IQR), adalah selisih antara persentil ke-75 (kuartil atas) dan persentil ke-25 (kuartil bawah).^[1][2] Dengan kata lain, IQR adalah kuartil ketiga dikurangi kuartil pertama. Kuartil dapat diketahui dengan jelas melalui diagram kotak garis.

IQR adalah ukuran variabilitas yang didasarkan pada pembagian kumpulan data menjadi kuartil. Kuartil membagi kumpulan data terurut menjadi empat bagian yang sama besar. Nilai yang memisahkan bagian-bagian ini disebut kuartil pertama, kedua (median), dan ketiga yang masing-masing dilambangkan dengan Q1, Q2, dan Q3.^[3]

Istilah kuartil bawah dan kuartil atas pertama kali diperkenalkan oleh Sir Donald MacAlister pada tahun 1879 pada publikasi berjudul The Law of the Geometric Mean. Sementara itu, istilah jangkauan interdesil dan interkuartil pertama kali dicetuskan oleh Francis Galton pada tahun 1882 pada publikasi berjudul Report of the Anthropometric Committee, meskipun ide tentang jangkauan interkuartil sebenarnya pernah dicetuskan oleh Carl Friedrich Gauss dan Adolphe Quételet.

IQR digunakan untuk membuat diagram kotak garis, sebuah representasi grafis sederhana yang menunjukkan distribusi probabilitas. Untuk sebuah distribusi simetris (median sama dengan rata-rata kuartil pertama dan ketiga), setengah IQR sama dengan deviasi absolut median (MAD). IQR juga dapat digunakan untuk mengidentifikasi pencilan (lihat di bawah).^[4][5] Selain itu, terdapat pula jangkauan semi-interkuartil yang dapat ditentukan melalui persamaan: ${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}(Q_{3}-Q_{1})}$.^[6]

IQR dari suatu kumpulan data merupakan selisih antara kuartil atas (Q₃) dan bawah (Q₁). Setiap kuartil adalah median^[7] dari sebagian data, seperti yang ditunjukkan oleh contoh berikut.

Misal, terdapat kumpulan data berjumlah genap (2n) atau ganjil (2n + 1), maka

kuartil pertama Q₁ = median dari n data terkecil

kuartil ketiga Q₃ = median dari n data terbesar ^[7]

Kuartil kedua Q ₂ sama dengan median kumpulan data yang sesungguhnya.^[7]

Tabel berikut memiliki 13 baris yang tiap barisnya berisi sebuah data.

i	x[i]	Median	Kuartil
1	7	Q2 = 87 (median seluruh data pada tabel)	Q1 = 31 (median paruh atas, dari baris 1 hingga 6)
2	7
3	31
4	31
5	47
6	75
7	87
8	115		Q3 = 119 (median paruh bawah, dari baris 8 hingga 13)
9	116
10	119
11	119
12	155
13	177

Jangkauan interkuartil data di atas adalah:

${\displaystyle IQR=Q_{3}-Q_{1}=119-31=88}$.

                    
                             +−−−−−+−+     
               * |−−−−−−−−−−−|     | |−−−−−−−−−−−|
                             +−−−−−+−+    
                    
 +−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+   garis bilangan
 0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12
  

Kumpulan data pada diagram kotak ini memiliki:

• kuartil bawah (pertama) Q₁ = 7
• median (kuartil kedua) Q₂ = 8.5
• kuartil atas (ketiga) Q₃ = 9
• jangkauan interkuartil, IQR = Q₃ - Q₁ = 2
• lebih rendah 1,5 * kumis IQR = Q ₁ - 1,5 * IQR = 7 - 3 = 4. (Jika tidak ada titik data di 4, maka titik terendah lebih besar dari 4. )
• atas 1,5 * kumis IQR = Q ₃ + 1,5 * IQR = 9 + 3 = 12. (Jika tidak ada titik data di 12, maka titik tertinggi kurang dari 12. )

Hal ini menunjukkan bahwa satu garis 1,5*IQR dengan garis 1,5*IQR lainnya bisa jadi memiliki panjang yang tidak sama.

Jangkauan interkuartil dari distribusi kontinu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi kepadatan probabilitas. Kuartil bawah (Q₁) adalah bilangan sedemikian rupa sehingga integral PDF dari -∞ ke Q₁ sama dengan 0,25, sedangkan kuartil atas (Q₃) adalah bilangan sedemikian rupa sehingga integral dari -∞ ke Q₃ sama dengan 0,75. Pada distribusi fungsi kumulatif (CDF), kuartil dapat didefinisikan sebagai:

${\displaystyle Q_{1}={\text{FDC}}^{-1}(0.25),}$

${\displaystyle Q_{3}={\text{FDC}}^{-1}(0.75),}$

dengan ${\displaystyle {\text{FDC}}^{-1}}$ adalah fungsi kuantil.^[8]

Jangkauan interkuartil dan median dari beberapa distribusi umum ditunjukkan pada tabel di bawah ini

Distribusi	Median	IQR
Normal	μ	2 Φ − 1 (0,75) σ ≈ 1,349σ ≈ (27/20) σ
Laplace	μ	2 b   ln (2) ≈ 1.386 b
Cauchy	μ	2γ

IQR, rata-rata, dan deviasi standar dari populasi P dapat digunakan dalam uji sederhana untuk menentukan apakah P terdistribusi normal atau tidak. Jika P terdistribusi normal, maka skor standar kuartil pertama, z₁, adalah −0.67, dan skor standar kuartil ketiga, z₃, adalah +0.67. Diberikan rata-rata = X dan standar deviasi = σ untuk P, jika P berdistribusi normal, maka kuartil pertama dapat dinyatakan sebagai

${\displaystyle Q_{1}=(\sigma \,z_{1})+X}$

dan kuartil ketiga

${\displaystyle Q_{3}=(\sigma \,z_{3})+X}$

Jangkauan interkuartil sering digunakan untuk mencari pencilan dalam data. Pada contoh berikut, pencilan didefinisikan sebagai data yang ditemukan berada di bawah Q₁ - 1.5 IQR atau di atas Q₃ + 1.5 IQR. Dalam diagram kotak, nilai tertinggi dan terendah dalam batas ini ditandai oleh ujung dari garis (sering pula ditambahkan bilah tambahan di ujung garis) dan pencilan sebagai titik-titik individual.

• Media terkait Interquartile range di Wikimedia Commons