Kategori aksesibel

Teori kategori aksesibel adalah bagian dari matematika, khususnya dari teori kategori. Ini mencoba untuk mendeskripsikan kategori dalam istilah "ukuran" (bilangan kardinal) dari operasi yang diperlukan untuk menghasilkan objek.

Teori ini berasal dari karya Grothendieck yang diselesaikan pada tahun 1969,^[1] and Gabriel and Ulmer (1971).^[2] Ini telah dikembangkan lebih lanjut pada tahun 1989 oleh Michael Makkai dan Robert Paré, dengan motivasi yang berasal dari teori model, cabang dari logika matematika.^[3] Sebuah buku teks standar oleh Adámek dan Rosický muncul pada tahun 1994.^[4] Kategori yang dapat diakses juga memiliki aplikasi dalam teori homotopi.^[5]^[6] Grothendieck melanjutkan pengembangan teori untuk tujuan homotopi-teoretik dalam manuskrip 1991 (masih sebagian belum diterbitkan) Les dérivateurs.^[7] Beberapa properti kategori yang dapat diakses bergantung pada penggunaan himpunan universal, terutama pada properti kardinal dan prinsip Vopěnka.^[8]

Kolimit- $\kappa$ dan objek persentabel- $\kappa$

Maka $\kappa$ menjadi tak terbatas kardinal reguler, yaitu bilangan kardinal yang bukan merupakan penjumlahan dari sejumlah kecil kardinal yang lebih kecil; contohnya adalah $\aleph _{0}$ (aleph-0), bilangan kardinal pertama yang tak terhingga, dan $\aleph _{1}$ , Kardinal pertama yang tak terhitung). Urutan himpunan parsial $(I,\leq )$ disebut kolimit- $\kappa$ jika setiap subset $J$ dari $I$ dengan kardinalitas kurang dari $\kappa$ memiliki batas atas di $I$ . Secara khusus, himpunan terarah biasa tepatnya adalah set yang diarahkan ke $\aleph _{0}$ .

Sekarang biarkan $C$ menjadi kategori. Limit langsung (juga dikenal sebagai kolom terarah) di atas $\kappa$ pada himpunan $(I,\leq )$ disebut kolimit terarah- $\kappa$ . Objek $X$ dari $C$ disebut persentabel- $\kappa$ jika funktor Hom $\operatorname {Hom} (X,-)$ dengan kolimit- $\kappa$ dalam $C$ . Jelas bahwa setiap persentabel- $\kappa$ pada objek disebut juga persentabel- $\kappa '$ maka $\kappa \leq \kappa '$ , karena terarah kolimit- $\kappa '$ juga terarah kolimit dalam kasus- $\kappa$ . Persentabel- $\aleph _{0}$ objek disebut persentabel finiter.

Contoh

Dalam kategori Himpunan dari semua himpunan, objek yang dapat ditampilkan secara terbatas bertepatan dengan himpunan hingga. Persentabel- $\kappa$ pada objek adalah himpunan kardinalitas yang lebih kecil dari $\kappa$ .
Dalam kategori dari semua grup, sebuah objek dapat disajikan secara halus jika dan hanya jika itu adalah grup yang disajikan secara terbatas, yaitu jika objek memiliki presentasi dengan banyak generator. Untuk regular tak terhitung $\kappa$ , persentabel- $\kappa$ objek tepatnya grup dengan kardinalitas lebih kecil dari $\kappa$ .
Dalam kategori kiri modul- $R$ di atas beberapa (asosiatif) gelanggang $R$ , objek yang dapat ditampilkan dengan tepat secara tepat adalah modul yang disajikan dengan baik.

Kategori- $\kappa$ aksesibel dan ditampilkan secara lokal

Kategori $C$ disebut aksesibel- $\kappa$ dengan ketentuan:

$C$ memiliki kolimit diarahkan- $\kappa$
$C$ berisi satu himpunan $P$ dari persentabel- $\kappa$ objek setiap objek $C$ adalah terarah- $\kappa$ kolimit objek $P$ .

Aksesibel- $\aleph _{0}$ kategori disebut aksesibel finiter. Sebuah kategori disebut dapat diakses jika aksesibel- $\kappa$ untuk beberapa kardinal reguler yang tak hingga $\kappa$ . Ketika kategori yang dapat diakses juga kokompleks, itu disebut persentabel lokal.

Funktor $F:C\to D$ antara aksesibel- $\kappa$ kategori disebut aksesibel- $\kappa$ asalkan $F$ terarah kolimit- $\kappa$ .

Contoh

Kategori Himpunan dari semua himpunan dan fungsi dapat dirapikan secara lokal, karena setiap himpunan adalah batas langsung dari himpunan bagiannya yang terbatas, dan himpunan hingga dapat dirapikan secara terbatas.
Kategori $R$ -Mod dari (kiri) $R$ -modul secara lokal dapat digunakan untuk setiap ring $R$ .
Kategori himpunan sederhana dapat diakses secara terbatas.
Kategori Mod(T) model dari beberapa teori urutan pertama dengan tanda tangan yang dapat dihitung adalah aksesibel- $\aleph _{1}$ . Persentabel- $\aleph _{1}$ objek adalah model dengan jumlah elemen yang dapat dihitung.
Contoh lebih lanjut dari kategori yang dapat dirapikan secara lokal adalah kategori aljabar finiter (yaitu kategori yang sesuai dengan varietas aljabar dalam aljabar universal) dan kategori Grothendieck.

Teorema

Dapat ditunjukkan bahwa setiap kategori yang dapat ditampilkan secara lokal juga kompleks.^[9] Lebih lanjut, kategori dapat ditampilkan secara lokal jika dan hanya jika setara dengan kategori model dengan batas sketsa.^[10]

Funktor adjoin antara kategori yang dapat ditampilkan secara lokal memiliki karakterisasi yang sangat sederhana. Funktor $F:C\to D$ antara kategori yang dapat ditampilkan secara lokal:

adalah adjoint kiri jika dan hanya jika kolimit,
adalah sambungan yang tepat jika dan hanya jika mempertahankan batas kecil dan dapat diakses.

Catatan

^ Grothendieck, Alexander; et al. (1972), Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas, Lecture Notes in Mathematics 269, Springer
^ Gabriel, P; Ulmer, F (1971), Lokal Präsentierbare Kategorien, Lecture Notes in Mathematics 221, Springer
^ Makkai, Michael; Paré, Robert (1989), Accessible categories: The foundation of Categorical Model Theory, Contemporary Mathematics, AMS, ISBN 0-8218-5111-X
^ Adamek/Rosický 1994
^ J. Rosický "On combinatorial model categories", arXiv, 16 August 2007. Retrieved on 19 January 2008.
^ Rosický, J. "Injectivity and accessible categories." Cubo Matem. Educ 4 (2002): 201-211.
^ Grothendieck, Alexander (1991), Les dérivateurs, Contemporary Mathematics, manuscript (Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis)
^ Adamek/Rosický 1994, chapter 6
^ Adamek/Rosický 1994, remark 1.56
^ Adamek/Rosický 1994, corollary 1.52

Referensi

Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Locally presentable and accessible categories, LNM Lecture Notes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42261-2