Kuaternion ganda

Dalam bidang matematika, kuaternion ganda adalah sebuah aljabar real berdimensi 8 yang isomorfik terhadap hasil kali tensor dari kuaternion dan bilangan ganda. Dengan demikian, entitas ini dapat dikonstruksikan dengan cara yang sama seperti kuaternion biasa, kecuali menggunakan bilangan ganda sebagai koefisien alih-alih bilangan real. Sebuah kuaternion ganda dapat direpresentasikan dalam bentuk A + εB, dengan A dan B adalah kuaternion biasa dan ε adalah unit ganda, yang memenuhi ε² = 0 dan komutatif terhadap setiap elemen dalam aljabar tersebut. Tidak seperti kuaternion biasa, kuaternion ganda tidak membentuk sebuah aljabar pembagian.

Dalam bidang mekanika, kuaternion ganda diterapkan sebagai sistem bilangan untuk merepresentasikan transformasi kaku dalam tiga dimensi.^[1] Karena ruang kuaternion ganda berdimensi 8 dan transformasi kaku memiliki enam derajat kebebasan real (tiga untuk translasi dan tiga untuk rotasi), kuaternion ganda yang mematuhi dua batasan aljabarlah yang digunakan dalam penerapan ini. Karena kuaternion satuan tunduk pada dua batasan aljabar tersebut, kuaternion satuan menjadi standar untuk merepresentasikan transformasi kaku.^[2]

Sama halnya dengan rotasi dalam ruang 3D yang dapat direpresentasikan oleh kuaternion dengan panjang satuan, gerak kaku dalam ruang 3D juga dapat direpresentasikan oleh kuaternion ganda dengan panjang satuan. Fakta ini digunakan dalam kinematika teoretis (lihat McCarthy^[3] ), dan dalam berbagai penerapannya pada grafika komputer 3D,^[4] robotika,^[5][6] serta visi komputer.^[7] Polinomial dengan koefisien yang dinyatakan dalam kuaternion ganda (norma real tak nol) juga telah digunakan dalam konteks perancangan pautan mekanis.^[8][9]

W. R. Hamilton memperkenalkan kuaternion^[10][11] pada tahun 1843, dan menjelang tahun 1873 W. K. Clifford memperoleh perumuman luas dari bilangan-bilangan ini yang ia sebut sebagai bikuaternion,^[12][13] yang merupakan sebuah contoh dari apa yang sekarang disebut sebagai aljabar Clifford.^[3]

Pada tahun 1898, Alexander McAulay menggunakan Ω dengan Ω² = 0 untuk menghasilkan aljabar kuaternion ganda.^[14] Namun, terminologi "oktonion" yang ia gunakan tidak bertahan karena oktonion saat ini merujuk pada aljabar yang berbeda.

Pada tahun 1891, Eduard Study menyadari bahwa aljabar asosiatif ini ideal untuk mendeskripsikan grup gerak dari ruang tiga dimensi. Ia lebih lanjut mengembangkan gagasan tersebut dalam Geometrie der Dynamen pada tahun 1901.^[15] B. L. van der Waerden menyebut struktur tersebut sebagai "bikuaternion Study", satu dari tiga aljabar berdimensi delapan yang disebut sebagai bikuaternion.

Pada tahun 1895, matematikawan Rusia Aleksandr Kotelnikov mengembangkan vektor ganda dan kuaternion ganda untuk digunakan dalam studi mekanika.^[16]

Untuk mendeskripsikan operasi pada kuaternion ganda, ada baiknya untuk terlebih dahulu meninjau kuaternion.^[17]

Sebuah kuaternion adalah kombinasi linear dari elemen-elemen basis 1, i, j, dan k. Aturan hasil kali Hamilton untuk i, j, dan k sering dituliskan sebagai

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$

Hitung i ( i j k ) = −j k = −i, untuk mendapatkan j k = i, dan ( i j k ) k = −i j = −k atau i j = k. Sekarang karena j ( j k ) = j i = −k, kita melihat bahwa hasil kali ini menghasilkan i j = −j i, yang menghubungkan kuaternion dengan sifat-sifat determinan.

Cara yang praktis untuk bekerja dengan hasil kali kuaternion adalah dengan menuliskan sebuah kuaternion sebagai jumlah dari sebuah skalar dan sebuah vektor (secara lebih tepat, sebuah bivektor), yaitu A = a₀ + A, di mana a₀ adalah bilangan real dan A = A₁ i + A₂ j + A₃ k adalah vektor tiga dimensi. Operasi titik dan silang vektor kini dapat digunakan untuk mendefinisikan hasil kali kuaternion dari A = a₀ + A dan C = c₀ + C sebagai

${\displaystyle G=AC=(a_{0}+\mathbf {A} )(c_{0}+\mathbf {C} )=(a_{0}c_{0}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )+(c_{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {C} +\mathbf {A} \times \mathbf {C} ).}$

Kuaternion ganda biasanya dideskripsikan sebagai kuaternion dengan bilangan ganda sebagai koefisiennya. Sebuah bilangan ganda adalah pasangan terurut â = ( a, b ). Dua bilangan ganda dijumlahkan secara per komponen dan dikalikan berdasarkan aturan â ĉ = ( a, b ) ( c, d ) = (a c, a d + b c). Bilangan ganda sering dituliskan dalam bentuk â = a + εb, di mana ε adalah unit ganda yang komutatif dengan i, j, k dan memiliki sifat ε² = 0.

Hasilnya adalah sebuah kuaternion ganda dapat dituliskan sebagai pasangan terurut dari kuaternion ( A, B ). Dua kuaternion ganda dijumlahkan secara per komponen dan dikalikan berdasarkan aturan,

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).}$

Adalah praktis untuk menuliskan kuaternion ganda sebagai jumlah dari skalar ganda dan vektor ganda, Â = â₀ + A, di mana â₀ = ( a, b ) dan A = ( A, B ) adalah vektor ganda yang mendefinisikan sebuah ulir. Notasi ini memungkinkan kita untuk menuliskan hasil kali dua kuaternion ganda sebagai

${\displaystyle {\hat {G}}={\hat {A}}{\hat {C}}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {c}}_{0}+{\mathsf {C}})=({\hat {a}}_{0}{\hat {c}}_{0}-{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {C}})+({\hat {c}}_{0}{\mathsf {A}}+{\hat {a}}_{0}{\mathsf {C}}+{\mathsf {A}}\times {\mathsf {C}}).}$

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

• l
• b
• s