Lema Titu

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Cauchy–Schwarz inequality#Sedrakyan's lemma - Positive real numbers di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Lema Titu (ditemukan oleh Titu Andreescu, atau dikenal juga lema T2, bentuk Engel, atau pertidaksamaan Sedrakyan) menyatakan untuk real positif, kita harus mencari

${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}$

Konsekuensi dari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah perolehan setelah menggunakan ${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}}$ dan ${\displaystyle v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.}$ Bentuk ini membantu kita saat pertidaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna.

Maka

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}^{2}}{y_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{y_{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{y_{n}}}\right)(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})&\geq (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}\\{\frac {x_{1}^{2}}{y_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{y_{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{y_{n}}}&\geq {\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}}{(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})}}.\end{aligned}}}$

Dari nilai biasa ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ dan ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$, yaitu

${\displaystyle {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}.}$

Setelah itu memperoleh dengan menerapkan substitusi ${\displaystyle a_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt {y_{i}}}}}$ dan ${\displaystyle b_{i}={\sqrt {y_{i}}}}$ yang merupakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.

Maka

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}^{2}}{y_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{y_{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{y_{n}}}\right)(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})&\geq (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}\\{\frac {x_{1}^{2}}{y_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{y_{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{y_{n}}}&\geq {\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}}{(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})}}.\ _{\square }\end{aligned}}}$

Lemma Titu, konsekuensi langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, menyatakan bahwa untuk setiap urutan ${\displaystyle n}$ bilangan real ${\displaystyle (x_{k})}$ dan sembarang urutan bilangan positif ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a_{k})}$, ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {x_{k}^{2}}{a_{k}}}\geq {\frac {(\sum _{k=1}^{n}x_{k})^{2}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}}}}$. Kami menggunakan contoh tiga istilahnya dengan ${\displaystyle x}$ pada urutan ${\displaystyle a,b,c}$ dan ${\displaystyle a}$ pada urutan ${\displaystyle a(b+c),b(c+a),c(a+b)}$:

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(c+a)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}}}$

Dengan mengalikan semua hasil kali di sisi yang lebih kecil dan mengumpulkan suku-suku sejenis, kita memperoleh

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(c+a)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}},}$

yang disederhanakan menjadi

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(ab+bc+ca)}}+1.}$

Dengan pertidaksamaan penataan ulang, maka ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca}$ sebagai pecahan di sisi yang lebih kecil ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}}$. Maka,

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Jika nilai ${\displaystyle \displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt[{\frac {m}{m-1}}]{a_{i}}}^{\frac {m}{m-1}}{\bigg )}^{\frac {1}{\ {\frac {m}{m-1}}\ }}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {x_{i}^{m}}{\left({\frac {a_{i}}{\sqrt[{m}]{a_{i}}}}\right)^{m}}}\right)^{\frac {1}{m}}\geq \sum _{i=1}^{n}x_{i},}$ yang merupakan rumus pertidaksamaan Holder

Maka menyederhanakan hasil, yaitu:

${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{\frac {m-1}{m}}{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {x_{i}^{m}}{a_{i}^{m-1}}}{\bigg )}^{\frac {1}{m}}&\geq \sum _{i=1}^{n}x_{i}\\{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{m-1}{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {x_{i}^{m}}{a_{i}^{m-1}}}{\bigg )}&\geq {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{m}\\{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {x_{i}^{m}}{a_{i}^{m-1}}}{\bigg )}&\geq {\dfrac {{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{m}}{{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{m-1}}}.\end{aligned}}}$

• Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Lemma Titu's.