Momentum empat

Dalam relativitas khusus, momentum empat adalah generalisasi dari momentum tiga-dimensi klasik untuk ruang waktu empat dimensi. Momentum merupakan sebuah vektor dalam tiga dimensi; sedangkan momentum-empat merupakan sebuah vektor empat dalam ruang waktu. Momentum empat kontravarian dari suatu partikel dengan energi relativistik $E$ dan momentum-tiga $p = (p x, p y, p z) = γm v$ , di mana $v$ adalah kecepatan-tiga dari partikel dan $γ$ adalah faktor Lorentz, adalah

p=(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right).

Kuantitas $m v$ di atas adalah momentum non-relativistik dari partikel dan $m$ adalah massa diamnya. Momentum empat berguna dalam perhitungan relativistik karena merupakan sebuah vektor kovarian Lorentz. Artinya momentum empat mudah diikuti transformasinya apabila ditransformasikan menggunakan transformasi Lorentz.

Definisi di atas berlaku untuk konvensi koordinat dengan $x 0 = ct$ . Beberapa penulis menggunakan konvensi $x 0 = t$ , yang menghasilkan definisi yang berbeda dengan $p 0 = E / c 2$ . Suatu momentum empat yang kovarian juga bisa didefinisikan dengan lambang $p μ$ dan tanda energi dibalikkan.

Norma Minkowski

Menghitung kuadrat norma Minkowsi dari momentum empat menghasilkan sebuah kuantitas invarian Lorentz yang sama dengan (kelipatan dari laju cahaya $c$ ) kuadrat dari massa wajar partikel:

p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}

di mana

\eta _{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)

merupakan tensor metrik relativitas khusus dengan tanda metrik untuk definitnya dipilih $(-1, 1, 1, 1)$ . Nilai negatif dari norma mencerminkan bahwa momentum merupakan vektor-empat bakwaktu untuk partikel yang masif. Tandanya bisa dibalik untuk rumus-rumus tertentu (seperti rumus norma di atas). Pilihan ini tidaklah penting, tetapi bila sudah dipilih harus dijaga konsistensinya.

Norma Minkowski bersifat invarian Lorentz, berarti nilainy tidak diubah oleh transformasi Lorentz ke kerangka acuan yang berbeda. Secara umum, untuk momentum empat $p$ dan $q$ manapun, kuantitas $p \cdot q$ invarian.