Notasi Hermann–Mauguin

Notasi Hermann–Mauguin, 'Notasi H-M, Notasi Kristalografi Internasional adalah sistem kristalografi untuk mendeskripsikan elemen simetri dari grup titik, grup ruang, dan grup bidang. Sistem ini menggunakan angka untuk menyatakan sumbu rotasi 2,3,4,6, huruf "m" untuk bidang cermin, serta simbol tambahan untuk sumbu ulir, bidang geser, dan tipe kisi. Notasi ini merepresentasikan 32 grup titik kristalografi dan 230 grup ruang dengan menentukan operasi simetri utama sepanjang sumbu kristal.

Sumbu rotasi dilambangkan dengan angka n – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... (sudut rotasi φ = 360°n). Untuk rotasi tak-sejati, notasi Hermann-Mauguin menunjukkan sumbu rotasi-inversi, berbeda dengan notasi Schoenflies dan Shubnikov yang menunjukkan sumbu rotasi-refleksi. Sumbu rotasi-inversi direpresentasikan dengan angka yang diberi tanda makron, n – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... . 2 setara dengan bidang cermin dan dinotasikan dengan m. Arah bidang cermin didefinisikan sebagai arah yang tegak lurus terhadapnya (arah sumbu 2).

Simbol Hermann-Mauguin menunjukkan sumbu-sumbu dan bidang-bidang yang tidak setara secara simetris. Arah suatu elemen simetri berkorespondensi dengan posisinya dalam simbol Hermann-Mauguin. Jika sebuah sumbu rotasi n dan bidang cermin m memiliki arah yang sama, maka keduanya dilambangkan sebagai pecahan nm atau n /m.

Jika terdapat dua atau lebih sumbu simetri dengan arah yang sama, maka yang ditampilkan adalah sumbu dengan orde tertinggi.. Simetri lebih tinggi berarti sumbu tersebut menghasilkan pola dengan lebih banyak titik. Sebagai contoh, sumbu rotasi 3, 4, 5, 6, 7, 8 masing-masing menghasilkan pola 3, 4, 5, 6, 7, 8 titik. Sumbu rotasi tak-sejati 3, 4, 5, 6, 7, 8 masing-masing menghasilkan pola 6, 4, 10, 6, 14, 8 titik. Jika sebuah sumbu rotasi dan sumbu rotasi-inversi berada pada arah yang sama dan menghasilkan jumlah titik yang sama, maka representasi ditentukan oleh sistem kristal dan aturan notasi yang berlaku, di mana sumbu rotasi-inversi seperti 4 sering kali dicantumkan karena merupakan elemen simetri yang khas untuk kelas kristal tertentu. Sebagai contoh, kombinasi 3m setara dengan 6. Karena 6 menghasilkan 6 titik, dan 3 hanya menghasilkan 3, 6 harus ditulis, bukan 3m (bukan 6m, karena 6 sudah mengandung bidang cermin m). Secara analog, jika sumbu 3 dan 3 sama-sama hadir, 3 harus ditulis. Namun kita menulis 4m, bukan 4m, karena baik 4 maupun 4 sama-sama menghasilkan empat titik. Dalam kasus kombinasi 6m, di mana sumbu 2, 3, 6, 3, dan 6 hadir, sumbu 3, 6, dan 6 semuanya menghasilkan pola 6 titik, seperti yang dapat dilihat pada gambar di samping, tetapi sumbu 6 yang harus digunakan karena merupakan sumbu rotasi – simbolnya akan menjadi 6m.

Format penulisan simbol Hermann-Mauguin bergantung pada tipe grup simetri yang dijelaskan. Untuk grup titik (32 kelas kristal), simbol hanya mencantumkan elemen simetri makroskopik. Sementara itu, untuk grup ruang (230 tipe), simbolnya diperluas dengan mencantumkan huruf yang melambangkan tipe kisi Bravais di awal notasi.

Grup-grup ini hanya boleh mengandung sumbu ganda, bidang cermin, dan/atau pusat inversi. Ini adalah grup titik kristalografi 1 dan 1 (sistem kristal triklinik), 2, m, dan 2m (monoklinik), serta 222, 2m2m2m, dan mm2 (ortorombik). (Bentuk pendek dari 2m2m2m adalah mmm.) Jika simbol mengandung tiga posisi, maka posisi-posisi tersebut masing-masing melambangkan elemen simetri dalam arah x, y, z.

• Posisi pertama – arah primer: Ditetapkan untuk sumbu utama (sumbu-z), yaitu sumbu dengan orde tertinggi.

• Posisi kedua – arah sekunder: Mewakili arah-arah yang setara secara simetris dan tegak lurus terhadap sumbu-z. Elemen simetri pada arah ini dapat berupa sumbu putar biner (2), bidang cermin (m), atau kombinasi keduanya  2m..

• Posisi ketiga – arah tersier: Mewakili arah-arah diagonal yang setara secara simetris dan terletak di antara arah-arah sekunder. Sebagai contoh, dalam sistem kristal kubik, arah tersier ini merujuk pada diagonal ruang.nPada arah diagonal ini, elemen simetri yang mungkin ditemukan umumnya adalah 2, m, atau  2m..^[1]

Ini adalah grup-grup kristalografi 3, 32, 3m, 3, dan 32m (sistem kristal trigonal), 4, 422, 4mm, 4, 42m, 4m, dan 4m2m2m (tetragonal), serta 6, 622, 6mm, 6, 6m2, 6m, dan 6m2m2m (heksagonal). Secara analog, simbol grup non-kristalografi (dengan sumbu orde 5, 7, 8, 9, ...) dapat dikonstruksi. Grup-grup ini disusun dalam tabel berikut:

Schoenflies	Simbol H–M	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
Cn	n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
Cnv	nm	3m		5m		7m		9m		11m			∞m
	nmm		4mm		6mm		8mm		10mm		12mm
S2n	n	3		5		7		9		11			∞m
Sn			4				8				12
Cn2h					6				10
Cnh	nm		4m		6m		8m		10m		12m
Dn	n2	32		52		72		92		(11)2			∞2
	n22		422		622		822		(10)22		(12)22
Dnd	n2m	32m		52m		72m		92m		(11)2m			∞mm
Dn2d	n2m = nm2		42m				82m				(12)2m
Dn2h					6m2				(10)m2
Dnh	nm2m2m		4m2m2m		6m2m2m		8m2m2m		10m2m2m		12m2m2m

Dapat diamati bahwa dalam grup dengan sumbu orde-ganjil n dan n, posisi ketiga dalam simbol selalu tidak ada, karena semua arah n, yang tegak lurus terhadap sumbu orde-tinggi, setara secara simetris. Sebagai contoh, pada gambar segitiga, ketiga bidang cermin (S₀, S₁, S₂) adalah setara – semuanya melewati satu titik sudut dan pusat sisi di hadapannya. Untuk sumbu orde-genap n dan n, terdapat n2 arah sekunder dan n2 arah tersier. Sebagai contoh, pada gambar segienam beraturan, dapat dibedakan dua himpunan bidang cermin – tiga bidang melalui dua titik sudut yang berhadapan, dan tiga bidang lainnya melalui pusat sisi-sisi yang berhadapan. Dalam kasus ini, salah satu dari dua himpunan tersebut dapat dipilih sebagai arah sekunder, dan himpunan sisanya akan menjadi arah tersier. Oleh karena itu, grup 42m, 62m, 82m, ... dapat ditulis sebagai 4m2, 6m2, 8m2, ... . Untuk simbol grup titik, urutan ini biasanya tidak penting; namun, ini akan menjadi penting untuk simbol Hermann-Mauguin dari grup ruang yang berkorespondensi, di mana arah sekunder adalah arah elemen simetri sepanjang translasi sel satuan b dan c, sementara arah tersier berkorespondensi dengan arah di antara translasi sel satuan b dan c. Sebagai contoh, simbol P6m2 dan P62m melambangkan dua grup ruang yang berbeda. Hal ini juga berlaku untuk simbol grup ruang dengan sumbu orde-ganjil 3 dan 3. Elemen simetri yang tegak lurus dapat berada sepanjang translasi sel satuan b dan c atau di antaranya. Grup ruang P321 dan P312 masing-masing adalah contoh dari kasus pertama dan kedua.

Simbol grup titik 32m mungkin membingungkan; simbol Schoenflies yang berkorespondensi adalah D_3d, yang berarti grup tersebut terdiri dari sumbu 3-fold, tiga sumbu 2-fold yang tegak lurus, dan 3 bidang diagonal vertikal yang berada di antara sumbu-sumbu 2-fold ini, sehingga tampaknya grup tersebut dapat dilambangkan sebagai 32m atau 3m2. Namun, harus diingat bahwa, tidak seperti notasi Schoenflies, arah suatu bidang dalam simbol Hermann-Mauguin didefinisikan sebagai arah yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, dan dalam grup D_3d semua bidang cermin tegak lurus terhadap sumbu 2-fold, sehingga bidang-bidang tersebut harus ditulis pada posisi yang sama dengan 2m. Kedua, kompleks 2m ini menghasilkan pusat inversi, yang jika dikombinasikan dengan sumbu rotasi 3-fold menghasilkan sumbu rotasi-inversi 3. Grup dengan n = ∞ disebut grup batas atau grup Curie.

Ini adalah grup-grup kristalografi dari sistem kristal kubik: 23, 432, 2m3, 43m, dan 4m32m. Semuanya mengandung empat sumbu 3-fold diagonal. Sumbu-sumbu ini tersusun sebagai sumbu 3-fold dalam sebuah kubus, mengarah sepanjang keempat diagonal ruangnya (kubus memiliki simetri 4m32m). Simbol-simbol ini dikonstruksi dengan cara berikut:

• Posisi pertama – arah-arah yang setara secara simetris dari sumbu koordinat x, y, dan z. Ketiganya setara karena adanya sumbu 3-fold diagonal.

• Posisi kedua – sumbu 3 atau 3 diagonal.
• Posisi ketiga – arah diagonal di antara dua dari ketiga sumbu koordinat x, y, dan z. Ini dapat berupa 2, m, atau 2m.

Semua simbol Hermann-Mauguin yang disajikan di atas disebut simbol lengkap. Untuk banyak grup, simbol-simbol ini dapat disederhanakan dengan menghilangkan sumbu rotasi n-fold pada posisi nm. Hal ini dapat dilakukan jika sumbu rotasi dapat diperoleh secara tak-ambigu dari kombinasi elemen simetri yang ada dalam simbol. Sebagai contoh, simbol pendek untuk 2m2m2m adalah mmm, untuk 4m2m2m adalah 4mmm, dan untuk 4m32m adalah m3m. Dalam grup yang mengandung satu sumbu orde-tinggi, sumbu orde-tinggi ini tidak dapat dihilangkan. Sebagai contoh, simbol 4m2m2m dan 6m2m2m dapat disederhanakan menjadi 4/mmm (atau 4mmm) dan 6/mmm (atau 6mmm), tetapi tidak menjadi mmm; simbol pendek untuk 32m adalah 3m. Simbol lengkap dan pendek untuk semua 32 grup titik kristalografi diberikan di halaman grup titik kristalografi.

Selain lima grup kubik, terdapat dua grup ikosahedral non-kristalografi lagi (I dan I_h dalam notasi Schoenflies) dan dua grup batas (K dan K_h dalam notasi Schoenflies). Simbol Hermann-Mauguin tidak dirancang untuk grup non-kristalografi, sehingga simbolnya bersifat nominal dan didasarkan pada kemiripan dengan simbol grup kristalografi dari sistem kristal kubik.^{[2][3][4][5][6]} Grup I dapat dilambangkan sebagai 235, 25, 532, 53. Simbol pendek yang mungkin untuk I_h adalah m35, m5, m5m, 53m. Simbol yang mungkin untuk grup batas K adalah ∞∞ atau 2∞, dan untuk K_h adalah ∞m∞ atau m∞ atau ∞∞m.

Grup bidang (plane groups) dapat digambarkan menggunakan sistem Hermann–Mauguin. Huruf pertama dalam notasi ini adalah huruf kecil p atau c yang masing-masing melambangkan sel satuan primitif atau terpusat (berpusat muka). Angka berikutnya menunjukkan simetri putaran (rotasi), seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Keberadaan bidang cermin dilambangkan dengan huruf m, sementara refleksi geser (glide reflection) dilambangkan dengan huruf g. Perlu dicatat bahwa sumbu ulir (screw axis) tidak ada dalam ruang dua dimensi.

Templat:Selengkapnya Simbol dari sebuah grup ruang (space group) didefinisikan dengan menggabungkan huruf kapital yang mendeskripsikan tipe kisi dengan simbol-simbol yang menentukan elemen simetri. Elemen-elemen simetri tersebut diurutkan dengan cara yang sama seperti dalam simbol grup titik yang bersesuaian (grup yang diperoleh jika semua komponen translasi dikeluarkan dari grup ruang). Simbol untuk elemen simetri lebih beragam karena selain sumbu rotasi dan bidang cermin, grup ruang dapat memuat elemen simetri yang lebih kompleks – sumbu ulir (kombinasi rotasi dan translasi) dan bidang geser (kombinasi refleksi cermin dan translasi). Akibatnya, banyak grup ruang yang berbeda dapat berkorespondensi dengan grup titik yang sama. Sebagai contoh, dengan memilih tipe kisi dan bidang geser yang berbeda, kita dapat menghasilkan 28 grup ruang yang berbeda dari grup titik mmm, misalnya Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd, dan seterusnya. Dalam beberapa kasus, sebuah grup ruang dihasilkan ketika translasi hanya ditambahkan ke sebuah grup titik.^[7] Dalam kasus lain, tidak ada titik di mana grup titik tersebut berlaku. Notasinya agak ambigu, tanpa sebuah tabel yang memberikan informasi lebih lanjut. Sebagai contoh, grup ruang I23 dan I2₁3 (No. 197 dan 199) keduanya mengandung sumbu rotasi dwiputaran serta sumbu ulir dwiputaran. Pada grup pertama, sumbu dwiputaran berpotongan dengan sumbu tigaputaran, sedangkan pada grup kedua tidak demikian halnya.^[8]

Berikut adalah tipe-tipe kisi Bravais dalam tiga dimensi:

· P – Primitif · I – Berpusat badan (dari bahasa Jerman "Innenzentriert") · F – Berpusat muka (dari bahasa Jerman "Flächenzentriert") · A – Berpusat alas hanya pada muka A · B – Berpusat alas hanya pada muka B · C – Berpusat alas hanya pada muka C · R – Rombohedral

Primitif, P	Berpusat alas, C	Berpusat muka, F	Berpusat badan, I	Rombohedral dalam set heksagonal, R

Sumbu ulir (screw axis) dinotasikan dengan sebuah angka, n, di mana sudut rotasinya adalah 360°n. Besarnya translasi kemudian ditambahkan sebagai subskrip yang menunjukkan seberapa jauh translasi di sepanjang sumbu tersebut, sebagai bagian dari vektor kisi yang sejajar. Sebagai contoh, 2₁ adalah rotasi 180° (dwiputaran) yang diikuti dengan translasi sebesar 12 dari vektor kisi. 3₁ adalah rotasi 120° (tigaputaran) yang diikuti dengan translasi sebesar 13 dari vektor kisi.

Sumbu ulir yang mungkin adalah: 2₁, 3₁, 3₂, 4₁, 4₂, 4₃, 6₁, 6₂, 6₃, 6₄, dan 6₅. Ada 4 pasang sumbu enantiomorfik: (3₁ – 3₂), (4₁ – 4₃), (6₁ – 6₅), dan (6₂ – 6₄). Enantiomorfisme ini menghasilkan 11 pasang grup ruang enantiomorfik, yaitu:

Sistem kristal	Tetragonal			Trigonal			Heksagonal				Kubik
Grup pertama Nomor Grup	P41 76	P4122 91	P41212 92	P31 144	P3112 152	P3121 151	P61 169	P62 171	P6122 178	P6222 180	P4132 213
Grup kedua Nomor Grup	P43 78	P4322 95	P43212 96	P32 145	P3212 154	P3221 153	P65 170	P64 172	P6522 179	P6422 181	P4332 212

Orientasi sebuah bidang geser (glide plane) ditentukan oleh posisi simbol dalam penamaan Hermann–Mauguin, sama seperti pada bidang cermin. Bidang ini dinotasikan dengan a, b, atau c tergantung pada sumbu (arah) mana geseran tersebut terjadi. Ada juga geseran n, yaitu geseran sepanjang setengah dari diagonal sebuah muka, dan geseran d, yaitu geseran sepanjang seperempat dari diagonal muka atau diagonal ruang sel satuan. Geseran d sering disebut sebagai bidang geser intan karena fitur ini terdapat dalam struktur intan. Dalam kasus di mana terdapat dua kemungkinan di antara a, b, dan c (seperti a atau b), huruf e digunakan. (Dalam kasus ini, pemusatan mengakibatkan kedua jenis geseran terjadi.) Ringkasannya:

• Geseran a, b, atau c adalah translasi sepanjang setengah vektor kisi dari muka tersebut.
• Geseran n adalah translasi sepanjang setengah diagonal muka.
• Geseran d adalah bidang geser dengan translasi sepanjang seperempat diagonal muka atau diagonal ruang.
• Geseran e adalah dua jenis geseran dengan bidang geser yang sama dan translasi sepanjang dua (berbeda) setengah vektor kisi.

• Klasifikasi Nickel–Strunz
• Klasifikasi Dana
• Indeks mineral Hey