Operator nonlokal

Operator nonlokal dalam ilmu matematika adalah pemetaan yang memetakan fungsi-fungsi pada sebuah ruang topologi, sedemikian hingga nilai fungsi keluaran tidak bisa ditentukan hanya dari nilai fungsi masukan di titik maupun ketetanggaan manapun. Satu contoh operator nonlokal adalah transformasi Fourier.

Diberikan sebuah ruang topologi ${\displaystyle {\mathit {X}}}$ sebuah himpunan ${\displaystyle {\mathit {Y}}}$, sebuah ruang fungsi ${\displaystyle {\mathit {F(X)}}}$ yang berisi fungsi dengan domain ${\displaystyle {\mathit {X}}}$, dan ${\displaystyle {\mathit {G(Y)}}}$sebuah ruang fungsi berisi fungsi dengan domain ${\displaystyle {\mathit {Y}}}$. Dua fungsi ${\displaystyle {\mathit {u}}}$ dan ${\displaystyle {\mathit {v}}}$ di ${\displaystyle {\mathit {F(X)}}}$ dinyatakan ekuivalen ${\displaystyle x\in X}$jika ada ketetanggaan ${\displaystyle {\mathit {N}}}$ dari ${\displaystyle {\mathit {x}}}$ sehingga ${\displaystyle u(x')=v(x')}$ untuk semua ${\displaystyle x'\in N}$. Sebuah operator ${\displaystyle A:F(X)\rightarrow G}$ dinyatakan lokal jika untuk setiap ${\displaystyle y\in Y}$ terdapat ${\displaystyle x\in X}$ sedemikian hingga ${\displaystyle Au(y)=Av(y)}$ untuk semua fungsi ${\displaystyle {\mathit {u}}}$ dan ${\displaystyle {\mathit {v}}}$ di ${\displaystyle {\mathit {F(X)}}}$ yang ekuivalen di ${\displaystyle x}$. Operator nonlokal adalah operator yang bersifat tidak lokal.

Pada dasarnya, dengan menggunakan operator lokal, nilai ${\displaystyle Au(y)}$ dapat dihitung hanya dengan informasi nilai ${\displaystyle {\mathit {u}}}$ yang ada di sebuah ketetanggaan kecil dari titik ${\displaystyle x}$. Untuk operator nonlokal, hal ini tidak dapat dilakukan.

Operator diferensial adalah contoh dari operator lokal. Sejumlah kelompok besar dari operator nonlokal (linear) diberikan oleh transformasi integral, seperti transformasi Fourier dan transformasi Laplace. Untuk transformasi integral bentuk

${\displaystyle (Au)(y)=\int \limits _{X}u(x)\,K(x,y)\,dx,}$

di mana ${\displaystyle K}$ adalah sebuah fungsi kernel, nilai ${\displaystyle {\mathit {u}}}$ harus diketahui untuk dapat menentukan nilai ${\displaystyle Au(y)}$.

Beberapa contoh penerapan operator nonlokal adalah:

• Analisis deret waktu menggunakan transformasi Fourier
• Analisis sistem dinamikal menggunakan transformasi Laplace
• Denoising pada citra menggunakan non-local means^[1]
• Pemodelan Gaussian blur atau motion blur pada citra menggunakan konvolusi dengan kernel pengabur atau fungsi persebaran titik

• Kalkulus fraksional
• Pemetaan linier

• Nonlocal equations wiki