Permainan icosian adalah sebuah permainan matematika yang ditemukan pada tahun 1856 oleh matematikawan Irlandia William Rowan Hamilton. Permainan ini melibatkan pencarian siklus Hamilton pada sebuah dodekahedron, yaitu jalur yang menggunakan sisi-sisi dodekahedron dan melewati semua titik sudutnya. Penemuan Hamilton terhadap permainan ini muncul dari studinya tentang simetri, serta dari penemuannya tentang kalkulus icosian, sebuah sistem matematika yang menggambarkan simetri dodekahedron.

Hamilton menjual karyanya kepada sebuah perusahaan pembuat permainan, dan permainan tersebut dipasarkan di Inggris dan Eropa, tetapi permainan itu terlalu mudah sehingga tidak berhasil secara komersial. Hanya sedikit salinan permainan tersebut yang diketahui masih tersimpan di museum.

Meskipun Hamilton bukan orang pertama yang mempelajari siklus Hamilton, karyanya pada permainan ini menjadi asal mula penggunaan istilah siklus Hamilton. Beberapa karya matematika rekreasional kemudian mempelajari permainan ini. Puzzle lain yang berbasis pada siklus Hamilton juga dijual sebagai aplikasi ponsel pintar, dan para matematikawan terus mempelajari permainan kombinatorial yang berbasis pada siklus Hamilton.

Tujuan permainan ini adalah menemukan sebuah poligon tiga dimensi yang dibentuk dari sisi-sisi sebuah dodekahedron beraturan, yang melewati masing-masing titik sudut dodekahedron tepat satu kali. Poligon yang mengunjungi semua titik sudut dengan cara ini kini disebut siklus Hamilton. Dalam versi dua pemain, salah satu pemain memulai dengan memilih lima titik sudut berurutan di sepanjang poligon, dan pemain lainnya harus melengkapi poligon tersebut.^[1]

Édouard Lucas menggambarkan bentuk dari setiap kemungkinan solusi dengan cara yang mudah diingat oleh pemain. Poligon yang sudah lengkap harus membelah dua belas sisi (wajah) dodekahedron menjadi dua pita yang masing-masing terdiri dari enam pentagon. Ketika pita ini melewati empat pentagon tengahnya secara berurutan, poligon menghubungkan dua sisi dari tiap pentagon yang tidak saling bersebelahan, sehingga menghasilkan belokan kiri ringan atau belokan kanan ringan pada setiap pentagon. Dengan demikian, pita tersebut membuat dua belokan kiri lalu dua belokan kanan, atau sebaliknya.^[2]

Salah satu versi permainan dibuat berupa papan kayu datar dengan graf planar berstruktur sama dengan dodekahedron (diagram Schlegel),^[3] dengan lubang-lubang untuk menempatkan pasak bernomor di titik-titik sudutnya. Poligon yang ditemukan pemain ditandai oleh urutan nomor pada pasak-pasak tersebut.^[4][5] Versi lain berbentuk “dodekahedron yang sebagian diratakan”, yaitu sebuah kubah setengah bola dengan pentagon-pentagon dodekahedron disusun pada permukaannya yang melengkung dan sebuah pegangan di dasar ratanya. Titik-titik sudutnya memiliki pasak tetap. Sebuah tali terpisah, dengan sebuah loop di salah satu ujungnya, dililitkan melalui pasak-pasak tersebut untuk menunjukkan poligonnya.^[5]

Permainan ini terlalu mudah untuk dimainkan sehingga tidak mencapai popularitas besar, meskipun Hamilton mencoba menepis kesan itu dengan menceritakan contoh seorang kolega akademiknya yang gagal menyelesaikannya.^[6] David Darling berpendapat bahwa Hamilton mungkin justru membuat permainan ini jauh lebih sulit untuk dirinya sendiri daripada untuk orang lain, karena ia menggunakan metode teoretisnya untuk menyelesaikannya alih-alih menggunakan percobaan dan kesalahan.^[5]