Teorema Moessner

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini. Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan. (Oktober 2025)

Dalam teori bilangan, teorema Moessner atau keajaiban Moessner^[1] adalah algoritma aritmetika yang menghasilkan barisan takhingga dari perpangkatan bilangan asli $${\displaystyle 1^{n},\,2^{n},\,3^{n},\,4^{n},\,5^{n},\,\ldots \qquad \qquad n\in \mathbb {N} }$$ melalui manipulasi aljabar barisan bilangan asli secara rekursif. Algoritma ini pertama kali diterbitkan oleh Alfred Moessner^[2] pada tahun 1951. Bukti pertama dari validitas algoritma ini diberikan oleh Oskar Perron^[3] pada tahun yang sama^[4]

Sebagai contoh, untuk ${\displaystyle n=2}$, maka dengan menghilangkan setiap bilangan genap pada barisan bilangan asli, diperoleh barisan bilangan ganjil $${\displaystyle 1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,\ldots }$$ kemudian dibentuk barisan "jumlah dari ${\displaystyle n}$ bilangan ganjil pertama", maka didapatkan barisan $${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,1+3,\,1+3+5,\,1+3+5+7,\,1+3+5+7+9,\ldots \\&1,\,4,\,9,\,16,\,\ldots \\&1^{2},\,2^{2},\,3^{2},\,4^{2},\,\ldots \end{aligned}}}$$

Berikut adalah isi pernyataan dari teorema Moessner:

1. Pilih sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
2. Pandang barisan bilangan asli $${\displaystyle 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,\ldots }$$ namun hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan ${\displaystyle n}$.
3. Konstruksikan barisan jumlahan parsial dari bilangan-bilangan yang tersisa.
4. Hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan ${\displaystyle n-1}$ dari barisan yang terbentuk pada langkah ketiga.
5. Ulangi langkah ketiga dan keempat. Secara umum, untuk barisan ke-${\displaystyle k}$, hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan ${\displaystyle n-k+1}$ dari barisan ke-${\displaystyle (k-1)}$.
6. Prosedur ini berhenti pada barisan ke-${\displaystyle n}$. Barisan ini ialah barisan^[4][5] $${\displaystyle 1^{n},\,2^{n},\,3^{n},\,4^{n},\,5^{n},\,\ldots }$$

Barisan pertama ialah barisan bilangan asli

$${\displaystyle 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,\ldots }$$

Untuk ${\displaystyle n=4}$, hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan ${\displaystyle 4}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,2,\,3,\,{\cancel {4}},\,5,\,6,\,7,\,{\cancel {8}},\,9,\,10,\,11,\,{\cancel {12}},\,13,\,14,\,\ldots \\&1,\,2,\,3,\,5,\,6,\,7,\,9,\,10,\,11,\,13,\,14,\,15,\,17,\,18,\,\ldots \end{aligned}}}$$

kemudian pandang barisan jumlahan parsial dari barisan tersebut

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,2,\,3,\,5,\,6,\,7,\,9,\,10,\,11,\,13,\,14,\,15,\,17,\,18,\,\ldots \\&1,\,1+2,\,1+2+3,\,1+2+3+5,\,1+2+3+5+6,\,\ldots \\&1,\,3,\,6,\,11,\,17,\,24,\,33,\,43,\,54,\,67,\,81,\,\ldots \end{aligned}}}$$

lalu hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan ${\displaystyle 3}$.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,3,\,{\cancel {6}},\,11,\,17,\,{\cancel {24}},\,33,\,43,\,{\cancel {54}},\,67,\,81,\,\ldots \\&1,\,3,\,11,\,17,\,33,\,43,\,67,\,81,\,113,\,\ldots \end{aligned}}}$$

kemudian pandang barisan jumlahan parsial dari barisan tersebut

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,3,\,11,\,17,\,33,\,43,\,67,\,81,\,113,\,\ldots \\&1,\,1+3,\,1+3+11,\,1+3+11+17,\,1+3+11+17+33,\,\ldots \\&1,\,4,\,15,\,32,\,65,\,108,\,175,\,256,\,369,\,\ldots \end{aligned}}}$$

lalu hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan ${\displaystyle 2}$.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,{\cancel {4}},\,15,\,{\cancel {32}},\,65,\,{\cancel {108}},\,175,\,{\cancel {256}},\,369,\,\ldots \\&1,\,15,\,65,\,175,\,369,\,671,\,\ldots \end{aligned}}}$$

Terakhir, pandang barisan jumlahan parsial dari barisan tersebut

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,15,\,65,\,175,\,369,\,671,\,\ldots \\&1,\,1+15,\,1+15+65,\,1+15+65+175,\,1+15+65+175+369,\ldots \\&1,\,16,\,81,\,256,\,625,\,\ldots \end{aligned}}}$$

yang merupakan barisan dari perpangkatan 4

$${\displaystyle 1^{4},\,2^{4},\,3^{4},\,4^{4},\,5^{4},\,\ldots }$$

Jika bilangan yang dihilangkan ialah bilangan dengan posisi bilangan segitiga dari setiap barisan, maka prosedur serupa akan menghasilkan barisan bilangan faktorial^[1]

$${\displaystyle 1!,\,2!,\,3!,\,4!,\,5!,\,\ldots }$$

• (Inggris) Polster, Burkard (17 Juli 2021). The Moessner Miracle. Why wasn't this discovered for over 2000 years?. Mathologer (video dokumenter pendek). Diakses tanggal 20 Juli 2021 – via YouTube.