Torsten Carleman

Torsten Carleman
Lahir	(1892-07-08)8 Juli 1892 Visseltofta
Meninggal	11 Januari 1949(1949-01-11) (umur 56) Stockholm
Almamater	Universitas Uppsala
Dikenal atas	Linearisasi Carleman Matriks Carleman Kondisi Carleman Ketaksamaan Carleman Teorema Carleman Teorema Denjoy–Carleman Teorema Denjoy–Carleman–Ahlfors Kernel Carleman Formula Carleman Teorema ergodik rata-rata Determinan Hilbert-Carleman
Penghargaan	Björkénska priset (1941) Kuliah Peccot (1922)
Karier ilmiah
Bidang	Matematika
Institusi	Universitas Lund Universitas Stockholm Institut Mittag-Leffler
Pembimbing doktoral	Erik Albert Holmgren
Mahasiswa doktoral	Åke Pleijel Hans Rådström

Torsten Carleman (8 Juli 1892, Visseltofta, Kotamadya Osby – 11 Januari 1949, Stockholm), lahir dengan nama Tage Gillis Torsten Carleman, adalah seorang Matematikawan Swedia, yang dikenal karena hasil karyanya dalam analisis klasik dan aplikasinya. Sebagai direktur Institut Mittag-Leffler selama lebih dari dua dekade, Carleman adalah matematikawan paling berpengaruh di Swedia.

Disertasi Carleman di bawah bimbingan Erik Albert Holmgren, serta karyanya pada awal 1920-an, dikhususkan untuk persamaan integral singular. Ia mengembangkan teori spektral dari operator integral dengan kernel Carleman, yaitu kernel K(x, y) sedemikian rupa sehingga K(y, x) = K(x, y) untuk hampir setiap (x, y), dan

${\displaystyle \int |K(x,y)|^{2}dy<\infty }$

untuk hampir setiap x.^[1][2]

Pada pertengahan 1920-an, Carleman mengembangkan teori fungsi kuasi-analitik. Ia membuktikan kondisi perlu dan cukup untuk kuasi-analisis, yang sekarang disebut Teorema Denjoy–Carleman.^[3] Sebagai akibat wajarnya, ia memperoleh sebuah kondisi cukup untuk determinasi dari masalah momen.^[4] Sebagai salah satu langkah dalam pembuktian teorema Denjoy–Carleman dalam (Carleman 1926), ia memperkenalkan Ketaksamaan Carleman

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leq e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

yang berlaku untuk setiap barisan bilangan real non-negatif a_k.^[5]

Pada waktu yang hampir bersamaan, ia menetapkan Formula Carleman dalam analisis kompleks, yang merekonstruksi sebuah fungsi analitik di suatu domain berdasarkan nilai-nilainya pada himpunan bagian dari batasnya. Ia juga membuktikan perumuman dari Formula Jensen, yang sekarang disebut Formula Jensen–Carleman.^[6]

Pada tahun 1930-an, secara independen dari John von Neumann, ia menemukan teorema ergodik rata-rata.^[7] Kemudian, ia bekerja dalam teori persamaan diferensial parsial, di mana ia memperkenalkan Estimasi Carleman,^[8] dan menemukan cara untuk mempelajari asimtotik spektral dari Operator Schrödinger.^[9]

Pada tahun 1932, mengikuti karya Henri Poincaré, Erik Ivar Fredholm, dan Bernard Koopman, ia merancang Penyematan Carleman (juga disebut linearisasi Carleman), sebuah cara untuk menyematkan sistem persamaan diferensial nonlinier berdimensi hingga du⁄dt = P(u) untuk u: R^k → R, di mana komponen-komponen P adalah polinomial dalam u, ke dalam sistem persamaan diferensial linier berdimensi tak hingga.^[10][11]

Pada tahun 1933, Carleman menerbitkan bukti singkat tentang apa yang sekarang disebut Teorema Denjoy–Carleman–Ahlfors.^[12] Teorema ini menyatakan bahwa jumlah nilai asimtotik yang dicapai oleh sebuah fungsi utuh berorde ρ di sepanjang kurva-kurva pada bidang kompleks yang mengarah keluar menuju nilai mutlak tak terhingga adalah kurang dari atau sama dengan 2ρ.

Pada tahun 1935, Torsten Carleman memperkenalkan perumuman Transformasi Fourier, yang mengawali karya Mikio Sato tentang hiperfungsi;^[13] catatan-catatannya diterbitkan dalam (Carleman 1944). Ia meninjau fungsi-fungsi f dengan pertumbuhan maksimal setingkat polinomial, dan menunjukkan bahwa setiap fungsi tersebut dapat diuraikan sebagai f = f₊ + f₋, di mana f₊ dan f₋ masing-masing bersifat analitik di bidang setengah atas dan bawah, dan bahwa representasi ini pada dasarnya unik. Kemudian ia mendefinisikan transformasi Fourier dari (f₊, f₋) sebagai pasangan lain (g₊, g₋) yang serupa. Meskipun secara konseptual berbeda, definisi tersebut bertepatan dengan definisi yang kemudian diberikan oleh Laurent Schwartz untuk distribusi tertempa.^[13] Definisi Carleman memunculkan banyak perluasan.^[13][14]

Kembali pada fisika matematis di tahun 1930-an, Carleman memberikan bukti pertama tentang eksistensi global untuk persamaan Boltzmann dalam teori kinetik gas (hasilnya berlaku untuk kasus homogenitas ruang).^[15] Hasil tersebut diterbitkan secara anumerta dalam (Carleman 1957).

Carleman menjadi pembimbing untuk tesis Ph.D. Ulf Hellsten, Karl Persson (Dagerholm), Åke Pleijel dan (bersama Fritz Carlson) untuk Hans Rådström.

Carleman lahir di Visseltofta dari pasangan Alma Linnéa Jungbeck dan Karl Johan Carleman, seorang guru sekolah.^[6] Ia menempuh pendidikan di Sekolah Katedral Växjö, dan lulus pada tahun 1910.

Ia melanjutkan studinya di Universitas Uppsala, menjadi salah satu anggota aktif dalam Komunitas Matematika Uppsala. Kjellberg mengenang:

Ia adalah seorang jenius! Teman-teman saya yang lebih tua di Uppsala sering bercerita tentang tahun-tahun indah yang mereka alami saat Carleman ada di sana. Ia adalah pembicara paling aktif di Komunitas Matematika Uppsala dan seorang pesenam terlatih. Ketika orang-orang meninggalkan seminar melintasi Sungai Fyris, ia berjalan dengan kedua tangannya di atas pagar jembatan.^[16]

Dari tahun 1917 ia menjadi dosen (docent) di Universitas Uppsala, dan dari tahun 1923 — menjadi profesor penuh di Universitas Lund. Pada tahun 1924 ia diangkat menjadi profesor di Universitas Stockholm. Ia terpilih sebagai anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Kerajaan Swedia pada tahun 1926 dan anggota Perhimpunan Sains dan Sastra Finlandia pada tahun 1934.^[17] Sejak 1927, ia menjadi direktur Institut Mittag-Leffler dan editor Acta Mathematica.^[6]

Dari tahun 1929 hingga 1946 Carleman menikah dengan Anna-Lisa Lemming (1885–1954),^[18] saudari tiri^[19] dari atlet Eric Lemming yang memenangkan empat medali emas dan tiga perunggu di Olimpiade.^[20] Selama periode ini ia juga dikenal sebagai seorang fasis, anti-semit, dan xenofobia yang vokal. Interaksinya dengan William Feller sebelum Feller berangkat ke Amerika Serikat tidak begitu menyenangkan, di mana pada satu titik ia dilaporkan karena pendapatnya bahwa "orang Yahudi dan orang asing harus dieksekusi".^[21]

Carlson mengenang Carleman sebagai orang yang: "tertutup dan pendiam, yang memandang kehidupan dan manusia dengan humor yang pahit. Di dalam hatinya, ia memiliki kecenderungan bersikap baik terhadap orang-orang di sekitarnya, dan berusaha keras untuk membantu mereka dengan cepat."^[6] Menjelang akhir hayatnya, ia pernah berkomentar kepada para mahasiswanya bahwa "para profesor seharusnya ditembak pada usia lima puluh tahun."^[22]

Selama dekade-dekade terakhir hidupnya, Carleman menyalahgunakan alkohol, menurut Norbert Wiener^[23][24] dan William Feller.^[25] Tahun-tahun terakhirnya diwarnai penderitaan akibat neuralgia. Pada penghujung tahun 1948, ia terserang penyakit hati penyakit kuning; ia meninggal dunia akibat komplikasi penyakit tersebut.^[6][24]

• Carleman, T. (1926). Les fonctions quasi analytiques (dalam bahasa Prancis). Paris: Gauthier-Villars. JFM 52.0255.02.
• Carleman, T. (1944). L'Intégrale de Fourier et Questions que s'y Rattachent (dalam bahasa Prancis). Uppsala: Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler. MR 0014165.
• Carleman, T. (1957). Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz (dalam bahasa Prancis). Uppsala: Publ. Sci. Inst. Mittag-Leffler. MR 0098477.
• Carleman, Torsten (1960), Pleijel, Ake; Lithner, Lars; Odhnoff, Jan (ed.), Edition Complete Des Articles De Torsten Carleman, Litos reprotryk and l'Institut mathematique Mittag-Leffler

• Torsten Carleman di Mathematics Genealogy Project