أمثلة لأشكال توزيع احتمالي بقيم تفرطح مختلفة: توزيع بتفرطح متوسط Mesokurtic (المنحنى B) - توزيع بتفرطح رفيع Leptokurtic (المنحنى A) - توزيع بتفرطح مسطح Platykurtic (المنحنى C)
التفرطح (بالإنجليزية : Kurtosis) ويسمى أيضا بمعامل التفرطح أو معامل التسطيح أو درجة التقوس أو الكورتوسيس ، هو مؤشر لقياس درجة تحدب أو تقوس دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي حقيقي . هو، إلى جانب التجانف ، من أهم معالم أشكال توزيع المتغيرات العشوائية ، ويمكن من وصف شكل توزيع الاحتمالات في جوار القيمة المتوقعة .[ 2]
تسميته الشائعة كورتوسيس مستنبطة من الإغريقية القديمة (κύρτωσις) وتعني الانحناءة أو التقوس.[ 3] أول من قام بتعريفه هو كارل بيرسون في القرن 19.[ 4]
تعريف
التفرطح الغير مُعيَّر
باعتبار متغير عشوائي حقيقي
X
{\displaystyle X}
بمتوسط
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
وانحراف معياري
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
، معامل التفرطح للمتغير
X
{\displaystyle X}
هو العزم من الرتبة الرابعة للتحويلة المعيارية ل
X
{\displaystyle X}
:[ 4]
β β -->
2
=
E
[
(
X
− − -->
μ μ -->
σ σ -->
)
4
]
{\displaystyle \beta _{2}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]}
وهو يساوي :
β β -->
2
=
μ μ -->
4
σ σ -->
4
{\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}}
مع
μ μ -->
i
{\displaystyle \mu _{i}}
العزم من الرتبة
i
{\displaystyle i}
للمتغير
X
{\displaystyle X}
.
التفرطح المعير
ويسمى أيضا بالتفرطح بإفراط (بالإنجليزية :Excess Kurtosis) ويقضي بطرح 3 من التفرطح الغير معير:
γ γ -->
2
=
β β -->
2
− − -->
3
{\displaystyle \gamma _{2}=\beta _{2}-3}
.
هذه الصيغة هي الأكثر استعمالا بين الإحصائيين، وتعرف بتفرطح فيشر ، وأيضا في البرامج الإحصائية (التي تقوم بحساب قيمة مقدر بدون انحياز ل
γ γ -->
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
). يعزى هذا التفضيل إلى كون قيمة التفرطح بالنسبة لتوزيع طبيعي تساوي 3، وبذلك تعتبر حالة التوزيع الطبيعي كنوع من المعايرة القياسية لكل التوزيعات الأخرى.[ 4] [ 5] [ 6]
مقدر بدون انحياز
المقدر الأكثر استخداما لحساب
γ γ -->
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
هو:
G
2
=
n
(
n
+
1
)
(
n
− − -->
1
)
(
n
− − -->
2
)
(
n
− − -->
3
)
∑ ∑ -->
i
=
1
n
(
x
i
− − -->
x
¯ ¯ -->
^ ^ -->
)
4
σ σ -->
2
^ ^ -->
2
− − -->
3
(
n
− − -->
1
)
2
(
n
− − -->
2
)
(
n
− − -->
3
)
{\displaystyle G_{2}={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {\bar {x}}})^{4}}{{\hat {\sigma ^{2}}}^{2}}}-3{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}
بحيث باعتبار
x
¯ ¯ -->
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {\bar {x}}}}
و
σ σ -->
^ ^ -->
2
{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}
هما المقدران ، بدون انحياز ، على التوالي للقيمة المتوقعة وتباين المتغير
X
{\displaystyle X}
.
مجال تغير التفرطح
باعتبار مربع التحويلة الموسطة المختزلة ل
X
{\displaystyle X}
:
Y
=
(
X
− − -->
μ μ -->
σ σ -->
)
2
{\displaystyle Y=({\frac {X-\mu }{\sigma }})^{2}}
،
فالقيمة المتوقعة ل
Y
{\displaystyle Y}
تساوي
E
(
Y
)
=
μ μ -->
2
σ σ -->
2
=
1
{\displaystyle E(Y)={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}=1}
وتباينه يساوي
V
(
Y
)
=
E
(
Y
2
)
− − -->
E
(
Y
)
2
=
β β -->
2
− − -->
1
=
γ γ -->
2
+
2
{\displaystyle V(Y)=E\left(Y^{2}\right)-E(Y)^{2}=\beta _{2}-1=\gamma _{2}+2}
وبحكم أن التباين قيمة موجبة، نستنتج أن:
β β -->
2
≥ ≥ -->
1
{\displaystyle \beta _{2}\geq 1}
و
γ γ -->
2
≥ ≥ -->
− − -->
2
{\displaystyle \gamma _{2}\geq -2}
للتفرطح إذا عتبة دنيا بينما ليست له عتبة عليا. العتبة الدنيا (
γ γ -->
2
=
− − -->
2
{\displaystyle \gamma _{2}=-2}
) تتحقق في حالة توزيع بيرنولي
B
(
n
,
1
/
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {B}}(n,1/2)}
.
أشكال التفرطح
γ γ -->
2
=
0
{\displaystyle \gamma _{2}=0}
، تفرطح متوسط (Mesokurtic) : كما في حالة التوزيع الطبيعي.
γ γ -->
2
>
0
{\displaystyle \gamma _{2}>0}
، تفرطح رفيع (Leptokurtic) : المميز للتوزيعات الاحتمالية التي تكون قمة منخناها رفيعة.
γ γ -->
2
<
0
{\displaystyle \gamma _{2}<0}
تفرطح مسطح (Platykurtic) : تكون قمة منحنى التوزيع آيلة للتسطيح.
مراجع
دراسات التصميم
دراسات غير مضبوطة
متنبئات غير قياسية
تحليل شكلي