الصفحة 34 من كتاب فيما یحتاج إليه الصانع من أعمال الهندسة لأبي الوفاء البوزجاني حيث يذكر فيها كيفية رسم مخمس في دائرة
في الهندسة الرياضية، خُمَاسِيّ الأَضْلاَعِ[1] أو المُخَمَّس[1][2] (بالإنجليزية: Pentagon) هو مضلع له خمسة أضلاع.[3][4][5] مجموع الزوايا الداخلية لخماسي أضلاع بسيط (أي أضلاعه لا تتقاطع مع بعضها البعض) ومحدب يساوي 540 درجة.
قد يكون خماسي الأضلاع بسيطا وقد يكون ذاتي التقاطع. خماسي ذاتي التقاطع يسمى نجمة خماسية.
الخماسي المنتظم
خطوات إنشاء المخمس باستخدام الفرجار والمسطرة.
مساحة خماسي منتظم
- تعطى مساحة المخمس ذو طول الضلع t بالعلاقة التالية:
![{\displaystyle A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\cdot \tan(54^{\circ })}{4}}\ \approx 1.720477401\,t^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d324e6418a87f95cc68b83f4978c6c6a591de5)
تعطى مساحة المخمس بدلالة نصف قطر الدائرة المحاطة داخله r بالعلاقة:
.
شعاع الدائرة المحيطة
إنشاء خماسي منتظم
المخمس هو مضلع قابل للإنشاء باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة. ويعود ذلك إلى كون 5 عددا أوليا لفيرما. هناك العديد من الطرق اللائي يمكنن من إنشاء خماسي منتظم. منهن ما يلي.
طريقة ريشموند
دوائر كارليل
رسم خماسي باستعمال دوائر كارليل
البرهان على أن cos 36° = ![{\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a72fb555242f5cee54e47bd3e3b9c18bbfa604c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\cos 90^{\circ }\\&=n^{2}+2n+1\\&=\cos(72^{\circ }+18^{\circ })\\&=\cos 72^{\circ }\cos 18^{\circ }-\sin 72^{\circ }\sin 18^{\circ }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc71b1df34a8fb875dc7832943f79bf71db5c88f)
- (باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)
(باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)
- ليكن u = cos 36°. أولا لاحظ أن
0 < u < 1 (والتي ستساعدنا في التبسيط أثناء العمل). الآن،
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}-2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}\\2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}\\2{\sqrt {1+u}}{\sqrt {1-u}}\cdot u{\sqrt {1-u}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {1+u}}\\2u(1-u)&{}=2u^{2}-1\\2u-2u^{2}&{}=2u^{2}-1\\0&{}=4u^{2}-2u-1\\u&{}={\frac {2+{\sqrt {(-2)^{2}-4(4)(-1)}}}{2(4)}}\\u&{}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd7f0610f89988dc44421798ab551a34b1f6fb0)
قد يعبر عن هذه النتيجة نثرا كما يلي :
الجيب التمام لزاوية تساوي ستة وثلاثين درجة هو نصف النسبة الذهبية.
طريقة أقليدس
أمثلة عن الخماسيات
نباتات
حيوانات
معادن
-
الشبه بلورة "Ho-Mg-Zn" عشرينية الأوجه تشكلت
كاثنا عشري سطوح خماسي الشكل. الوجوه كلها خماسيات منتظمة.
-
بلورة
بيريت، عبارة عن اثنا عشري الوجوه له 12 وجهًا خماسيًا متطابقًا غير مقيد ليكون منتظمًا.
إنشاءات إنسانية
انظر أيضًا
وصلات خارجية
المراجع