لمعانٍ أخرى، طالع ظل (توضيح).

الظل
تمثيل دالة الظل في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تدوين	${\displaystyle \tan(x)}$ أو ظا (س) أو ظل (س)
تعريف الدالة	tan A = الضلع المقابل لزاوية في مثلث قائم/الضلع المجاور لنفس الزاوية
دالة عكسية	${\displaystyle \arctan(x)}$
مشتق الدالة	${\displaystyle {\begin{aligned}1+\tan ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\\=\sec ^{2}(x)\end{aligned}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle -\ln |\cos(x)|+C}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	${\displaystyle \mathbb {R} -\left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}}$
المجال المقابل	${\displaystyle \mathbb {R} }$
دورة الدالة	π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
القيمة/النهاية عند ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	على اليمين: ${\displaystyle -\infty }$ على اليسار: ${\displaystyle +\infty }$
خطوط مقاربة	${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$
جذور الدالة	${\displaystyle k\pi }$
ملاحظات	${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
تعديل مصدري - تعديل

ظل الزاوية (بالإنجليزية: Tangent of an angle)‏ هو أحد الدوال المثلثية الأساسية والذي يرمز له بـ tan أو tg باللاتينية أو ظا بالعربية،^[1][2] ويُعرف بأنه نسبة الجيب إلى جيب التمام لنفس الزاوية، أي قسمة طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم.

إذا نظرنا إلى الصورة أعلاه (وهي صورة لدائرة واحدية)، نرى أن المثلثات OAB و OCD مماثلة،

لذلك يكون تعريف ظل الزاوية x (س):

${\displaystyle \tan x={\frac {DC}{OC}}}$

ظا (س)= :${\displaystyle {\frac {DC}{OC}}}$

وكذلك :

${\displaystyle \tan x={\frac {AB}{OA}}}$

ظا (س)= :${\displaystyle {\frac {AB}{OA}}}$

بالتالي يكون:

${\displaystyle {\frac {AB}{OA}}={\frac {DC}{OC}}}$

الذي ينطوي على العلاقة الأساسية بين الظل و الجيب sin x و جيب التمام cos x العلاقة :

${\displaystyle \tan x=\,{\frac {\sin x}{\cos x}}}$

ظا(س)= جا س/جتا س

طالع دوال مثلثية

حساب الظل في مثلث قائم:

ظل الزاوية = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور

كما أن :

ظل الزاوية ب = جيب الزاوية ب/جيب تمام الزاوية ب

مثال :

• طول المقابل [أج] = 15 سنتيمتر
• طول المجاور [أب] = 5 سنتيمتر

فيكون ظل الزاوية ب : المقابل [أج]/المجاور [أب] = 15/5 = 3

• ${\displaystyle \tan 0=\tan 0^{\circ }=0}$
• ${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
• ${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1}$
• ${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}}$
• ${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{2}}=\tan 90^{\circ }=\infty }$
• ${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{4}}=\tan 135^{\circ }=-1}$
• ${\displaystyle \tan \pi =\tan 180^{\circ }=0}$
• ${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{2}}=\tan 270^{\circ }=\infty }$

طبقا للمعادلة أعلاه يكون :

${\displaystyle {\frac {AB}{OA}}={\frac {DC}{OC}}}$

أي أن:

${\displaystyle {\frac {AB}{240}}={\frac {5}{8}}}$

ومنها ينتج أرتفاع ناطحة السحاب AB :

متر ${\displaystyle \ AB=\ {150}}$

ولانحتاج لقياس ناطحة السحاب للصعود والنزول وقياسها بالمتر في يدنا، بل يكفي معرفة قانون ظل الزاوية وبعض الأبعاد السهلة التعيين لتعيين ارتفاع ناطحة السحاب .

دالة الظل هي دالة حقيقية:

• دورية، دورتها ${\displaystyle \pi }$.

${\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan(x)}$

• فردية، حيث: ${\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)}$
• تقبل خطوط مقاربة عمودية عند القيم ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ من أجل كل عدد صحيح k.

  ${\displaystyle \lim _{x\to (\pi /2)^{-}}\tan x=+\infty }$

  ${\displaystyle \lim _{x\to (\pi /2)^{+}}\tan x=-\infty }$

• مشتقها : ${\displaystyle \tan 'x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$
• مشتقها العكسي: ${\displaystyle \int \tan(x)dx=-\ln |\cos(x)|}$ وهو يكافئ الصيغة: ${\displaystyle \ln |\sec(x)|}$ حيث ${\displaystyle \sec x}$ هي دالة القاطع.
• بتطبيق صيغة أويلر:

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta } \over 2i}{e^{i\theta }+e^{-i\theta } \over 2}}={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}}$

حيث ${\displaystyle i}$ هي الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي ${\displaystyle -1}$.

• دالتها العكسية على المجال ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ هي دالة قوس ظل الزاوية ويرمز لها بـ ${\displaystyle \arctan x}$ .
• مقلوب الدالة هو دالة ظل التمام ويرمز لها بـ ${\displaystyle \cot(x)}$.

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{\tan x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}}$

يمكن التعبير عن ظل الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة متسلسلة تايلور التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle B_{n}}$ هو عدد بيرنولي و ${\displaystyle U_{n}}$ هو عدد Up/down.

تحسب قيم الدالة بواسطة المتسلسلة، ولكن بدلاً من استخدام النشر المحدود بواسطة متسلسلة تايلور، التي تستخدم العديد من العمليات، يحبذ استعمال خوارزمية CORDIC.

• جيب الزاوية
• جيب التمام
• دائرة واحدية
• حساب المثلثات
• ظل التمام

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة رياضية

في كومنز صور وملفات عن: ظل