فيما يلي سرد بمشتقات بعضٍ من الدوال الرياضية .
على اعتبار
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
أعداد حقيقية ، و
c
{\displaystyle c}
[1] [2]
قواعد التفاضل العامة التفاضل خطي
(
c
f
)
′
=
c
f
′
{\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}
قاعدتا الضرب والقسمة
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}
اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.
(
f
g
)
′
=
f
′
g
− − -->
f
g
′
g
2
,
g
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}
قاعدة السلسلة (أو التسلسل)
(
f
∘ ∘ -->
g
)
′
=
(
f
′
∘ ∘ -->
g
)
g
′
{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅ ⋅ -->
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}
d
d
x
h
(
x
)
=
d
d
z
f
(
z
)
|
z
=
g
(
x
)
⋅ ⋅ -->
d
d
x
g
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
d
h
(
x
)
d
x
=
d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
⋅ ⋅ -->
d
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}
[
D
(
f
∘ ∘ -->
g
)
]
x
=
[
D
f
]
g
(
x
)
⋅ ⋅ -->
[
D
g
]
x
.
{\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}
اشتقاق الدوال المضروبة والمقسومة لوغاريتميًّا في حالة الضرب إن كانت
y
=
f
g
{\displaystyle y=fg}
فيمكن أخذ لوغاريتم طبيعي للجانبين:
ln
-->
(
y
)
=
ln
-->
(
f
g
)
{\displaystyle \ln(y)=\ln(fg)}
من خصائص اللوغاريتمات أن لوغاريتم مضروبين يساوي مجموع لوغاريتم كل منهما
ln
-->
(
a
b
)
=
ln
-->
(
a
)
+
ln
-->
(
b
)
{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}
ln
-->
(
y
)
=
ln
-->
(
f
)
+
ln
-->
(
g
)
{\displaystyle \ln(y)=\ln(f)+\ln(g)}
باشتقاق الجانبين ضمنيًّا:
y
′
y
=
f
′
f
+
g
′
g
{\displaystyle {\frac {y'}{y}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}}
بضرب الجانبين في
y
{\displaystyle y}
y
′
=
y
(
f
′
f
+
g
′
g
)
{\displaystyle y'=y\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)}
ثم يعوض بقيمة
y
{\displaystyle y}
y
=
f
g
{\displaystyle y=fg}
y
′
=
f
g
(
f
′
f
+
g
′
g
)
{\displaystyle y'=fg\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)}
بالضرب واختصار الكسور:
y
′
=
f
′
g
+
g
′
f
{\displaystyle y'=f'g+g'f}
في حالة القسمة ينطبق ما سبق في حالة القسمة، بيد أنه في القسمة يساوي لوغاريتم مقسوم عددين مطروح لوغاريتم كل منهما
ln
-->
(
a
b
)
=
ln
-->
(
a
)
− − -->
ln
-->
(
b
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)}
قاعدة المقلوب
(
1
f
)
′
=
− − -->
f
′
f
2
,
f
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0}
مشتقة الدالة المعكوسة إذا كانت دالة f ما، تقبل دالة عكسية ، فإن :
(
f
− − -->
1
)
′
=
1
f
′
∘ ∘ -->
f
− − -->
1
{\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}
لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية، عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.
اعلم بأن المقلوب هو المعكوس في كل الدوال إلا الدوال المثلثية إذ إن معكوساتها ليست مقلوباتها، فمعكوس الدالة المثلثية ينتج الزاوية من قيمة دالة مثلثية عندها.
قاعدة الأس العامة
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
-->
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
-->
f
)
,
f
>
0
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0}
مشتقات الدوال البسيطة
c
′
=
0
{\displaystyle c'=0\,}
x
′
=
1
{\displaystyle x'=1\,}
(
c
x
)
′
=
c
{\displaystyle (cx)'=c\,}
|
x
|
′
=
x
|
x
|
=
|
x
|
x
,
x
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle |x|'={x \over |x|}={|x| \over x},\qquad x\neq 0}
(
x
c
)
′
=
c
x
c
− − -->
1
{\displaystyle (x^{c})'=cx^{c-1}}
حيث كلا من
x
c
{\displaystyle x^{c}\,}
و
c
x
c
− − -->
1
{\displaystyle cx^{c-1}\,}
هي دوال معرفة
(
1
x
)
′
=
(
x
− − -->
1
)
′
=
− − -->
x
− − -->
2
=
− − -->
1
x
2
{\displaystyle \left({1 \over x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}
(
1
x
c
)
′
=
(
x
− − -->
c
)
′
=
− − -->
c
x
− − -->
(
c
+
1
)
=
− − -->
c
x
c
+
1
{\displaystyle \left({1 \over x^{c}}\right)'=\left(x^{-c}\right)'=-cx^{-(c+1)}=-{c \over x^{c+1}}}
(
x
)
′
=
(
x
1
2
)
′
=
1
2
x
− − -->
1
2
=
1
2
x
,
x
>
0
{\displaystyle \left({\sqrt {x}}\right)'=\left(x^{1 \over 2}\right)'={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}
مشتقات الدوال الأسية
(
c
x
)
′
=
c
x
ln
-->
c
,
c
>
0
{\displaystyle \left(c^{x}\right)'={c^{x}\ln c},\qquad c>0}
المعادلة السابقة صحيحة لأي c ، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب .
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}}
(
log
c
-->
x
)
′
=
1
x
ln
-->
c
,
c
>
0
,
c
≠ ≠ -->
1
{\displaystyle \left(\log _{c}x\right)'={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
المعادلة السابقة صحيحة أيضا لأي c ، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.
(
ln
-->
x
)
′
=
1
x
,
x
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \left(\ln x\right)'={1 \over x},\qquad x\neq 0}
(
ln
-->
|
x
|
)
′
=
1
x
{\displaystyle \left(\ln |x|\right)'={1 \over x}}
(
x
x
)
′
=
x
x
(
1
+
ln
-->
x
)
{\displaystyle \left(x^{x}\right)'=x^{x}(1+\ln x)}
مشتقات الدوال المثلثية
(
sin
-->
x
)
′
=
cos
-->
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
(
arcsin
-->
x
)
′
=
1
1
− − -->
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
cos
-->
x
)
′
=
− − -->
sin
-->
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
(
arccos
-->
x
)
′
=
− − -->
1
1
− − -->
x
2
{\displaystyle (\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
tan
-->
x
)
′
=
sec
2
-->
x
=
1
cos
2
-->
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}\,}
(
arctan
-->
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
(
sec
-->
x
)
′
=
sec
-->
x
tan
-->
x
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}
(
arcsec
-->
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
− − -->
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
csc
-->
x
)
′
=
− − -->
csc
-->
x
cot
-->
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}
(
arccsc
-->
x
)
′
=
− − -->
1
|
x
|
x
2
− − -->
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
cot
-->
x
)
′
=
− − -->
csc
2
-->
x
=
− − -->
1
sin
2
-->
x
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}\,}
(
arccot
-->
x
)
′
=
− − -->
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'={-1 \over 1+x^{2}}\,}
مشتقات الدوال الزائدية
(
sinh
-->
x
)
′
=
cosh
-->
x
=
e
x
+
e
− − -->
x
2
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(
arsinh
x
)
′
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
cosh
-->
x
)
′
=
sinh
-->
x
=
e
x
− − -->
e
− − -->
x
2
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(
arcosh
x
)
′
=
1
x
2
− − -->
1
{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
tanh
-->
x
)
′
=
sech
2
x
{\displaystyle (\tanh x)'=\operatorname {sech} ^{2}\,x}
(
artanh
x
)
′
=
1
1
− − -->
x
2
{\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
مشتقات الدوال الخاصة
دالة غاما
(
Γ Γ -->
(
x
)
)
′
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
t
x
− − -->
1
e
− − -->
t
ln
-->
t
d
t
{\displaystyle (\Gamma (x))'=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}
(
Γ Γ -->
(
x
)
)
′
=
Γ Γ -->
(
x
)
(
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
ln
-->
(
1
+
1
n
)
− − -->
1
x
+
n
)
− − -->
1
x
)
=
Γ Γ -->
(
x
)
ψ ψ -->
(
x
)
{\displaystyle (\Gamma (x))'=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}
حيث
ψ ψ -->
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
دالة بوليغاما [الإنجليزية]
دالة زيتا لريمان
(
ζ ζ -->
(
x
)
)
′
=
− − -->
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
ln
-->
n
n
x
=
− − -->
ln
-->
2
2
x
− − -->
ln
-->
3
3
x
− − -->
ln
-->
4
4
x
− − -->
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}
(
ζ ζ -->
(
x
)
)
′
=
− − -->
∑ ∑ -->
p
prime
p
− − -->
x
ln
-->
p
(
1
− − -->
p
− − -->
x
)
2
∏ ∏ -->
q
prime
,
q
≠ ≠ -->
p
1
1
− − -->
q
− − -->
x
{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}
انظر أيضًا المراجع
^ Calculus (5th edition) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, (ردمك 978-0-07-150861-2 ).^ Advanced Calculus (3rd edition) , R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, (ردمك 978-0-07-162366-7 ).
![{\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624f2d85795ec0b7c5d54e5dd6ed8fddcdcfca36)
