هذه المقالة عن الكرة شكلا هندسيا. لمعانٍ أخرى، طالع
كرة (توضيح) .
أسطرلاب كروي
الكرة أو الفلكة سطح هندسي ثنائي تام التناظر ، ينتج عن دوران دائرة حول أحد أقطارها . في الهندسة الإقليدية ثلاثية الأبعاد تعرف الكرة على أنها المحل الهندسي لمجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه وليكن r من نقطة معينة في الفضاء حيث r عدد موجب (ليس بالضرورة صحيحا دائما) ويسمى نصف القطر . تسمى النقطة المعينة بمركز الكرة . كرة الوحدة هي الكرة التي يكون نصف قطرها يساوي 1.
المساحة
المساحة السطحية لكرة ذات نصف قطر r هي:
A
=
4
π π -->
r
2
{\displaystyle A=4\pi r^{2}\,}
الحجم
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، حجم كرة ذات نصف قطر r هو
V
=
4
π π -->
r
3
3
{\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}
أرخميدس هو أول من استنتج هذه الصيغة حيث وجد أن حجم كرة يساوي ثلثي حجم
الأسطوانة المحيطة .
معادلات
في الهندسة التحليلية ، كرة بمركز (x 0 , y 0 , z 0 ) ونصف قطر r تعرف على أنها جميع النقاط (x, y, z) التي تحقق المعادلة التالية:
(
x
− − -->
x
0
)
2
+
(
y
− − -->
y
0
)
2
+
(
z
− − -->
z
0
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}\,}
هذه النقاط يمكن تمثيلها من خلال المعادلات القطبية التالية:
x
=
x
0
+
r
cos
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
{\displaystyle \,x=x_{0}+r\cos \theta \;\sin \varphi }
y
=
y
0
+
r
sin
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
{\displaystyle \,y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad \,}
حيث
0
≤ ≤ -->
θ θ -->
≤ ≤ -->
2
π π -->
{\displaystyle \,\qquad 0\leq \theta \leq 2\pi {\mbox{ }}\,}
و
0
≤ ≤ -->
φ φ -->
≤ ≤ -->
π π -->
{\displaystyle \,\qquad {\mbox{ }}0\leq \varphi \leq \pi \,}
z
=
z
0
+
r
cos
-->
φ φ -->
{\displaystyle \,z=z_{0}+r\cos \varphi \,}
أي كرة ذات أي قيمة لنصف قطرها ومركزها في نقطة الأصل تأخذ المعادلة التفاضلية التالية:
x
d
x
+
y
d
y
+
z
d
z
=
0.
{\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}
تبين هذه المعادلة أن متجه السرعة ومتجه الموقع لأي نقطة تتحرك على سطح الكرة دائما ما يكونا متعامدين.
التعميم للأبعاد الأخرى - طوبولوجيا
اسطوانة مقيدة بكُرة داخلها
الكرة-0 هي زوج من النقاط تحدد قطعة مستقيمة طولها 2r .
الكرة-1، هي دائرة نصف قطرها r .
الكرة-2 هي الكرة الاعتيادية في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الكرة-3 هي كرة في الفضاء الرباعي الأبعاد.
انظر أيضاً
مراجع
وصلات خارجية