Levente Szuper begann seine Karriere in der Saison 1996/97 beim ungarischen Erstligisten Ferencvárosi TC, mit dem er in seinem Rookiejahr auf Anhieb den ungarischen Meistertitel gewann. Bald darauf wechselte er in die deutsche Juniorenliga zu den Krefeld Pinguinen. 1998 wechselte der Torhüter nach Nordamerika und spielte zwei Saisons für die Ottawa 67’s, die ihn im CHL Import Draft jenes Jahres in der zweiten Runde als insgesamt 62. Spieler ausgewählt hatten, in der Ontario Hockey League, wo er konstant gute Leistungen zeigte, obwohl er sich die Eiszeit mit Seamus Kotyk teilen musste. Bereits in seiner ersten Spielzeit in Ottawa konnte er 1999 mit seiner Mannschaft den Memorial Cup gewinnen. Zudem erhielt er die F. W. „Dinty“ Moore Trophy als Rookie mit dem niedrigsten Gegentorschnitt der OHL. Bereits 1999 wurde von ihm als vielversprechenden Kandidaten für den NHL Entry Draft gesprochen, was sich jedoch erst im Jahr 2000 erfüllte.
Im Juniorenbereich nahm Szuper für Ungarn an den U18-B-Europameisterschaften 1996, als er aber noch nicht eingesetzt wurde, 1997 und 1998 teil.
Mit der ungarischen Herren-Auswahl nahm Szuper an der C-Weltmeisterschaft 1998, den Weltmeisterschaften der Division I 2002, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2011 und 2013 sowie der Weltmeisterschaft der Top-Division 2009, bei der die Magyaren erstmals nach 70 Jahren wieder in der höchsten Spielklasse des Welteishockeys antraten, teil. Bei Weltmeisterschaften erhielt er als erster Torwart Ungarns zahlreiche individuelle Auszeichnungen. So wurde er bei der U18-Europameisterschaft 1998 und den Herren-Weltmeisterschaften 2003 und 2005 zum besten Torhüter des Turniers gewählt. 1998 und 2002 wies er jeweils den geringsten Gegentorschnitt und 2002 und 2008 die beste Fangquote des Turniers auf. 2008 wies er zudem den zweitbesten Gegentorschnitt nach dem Ukrainer Ihor Karpenko auf. 2011 erreichte er hinter den Italienern Thomas Tragust und Daniel Bellissimo dann noch einmal den drittbesten Gegentorschnitt und die drittbeste Fangquote des Turniers. Auch 2013 erreichte er jeweils den drittbesten Gegentorschnitt und die drittbeste Fangquote des Turniers, diesmal hinter dem Kasachen Witali Kolesnik und dem Italiener Adam Dennis.
(Legende zur Torhüterstatistik: GP oder Sp = Spiele insgesamt; W oder S = Siege; L oder N = Niederlagen; T oder U oder OT = Unentschieden oder Overtime- bzw. Shootout-Niederlage; Min. = Minuten; SOG oder SaT = Schüsse aufs Tor; GA oder GT = Gegentore; SO = Shutouts; GAA oder GTS = Gegentorschnitt; Sv% oder SVS% = Fangquote; EN = Empty Net Goal; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)