Im Zentrum seiner wissenschaftlichen Arbeiten standen die Retroviren und insbesondere HIV. Bereits von 1971 bis 1973 war er Wissenschaftlicher Assistent in der Abteilung Virologie des Robert-Koch-Instituts, wechselte dann aber an die Imperial Cancer Research Fund Laboratories in London. Anschließend leitete er von 1975 bis 1980 eine Nachwuchsgruppe der Max-Planck-Gesellschaft in Tübingen. 1976 wurde er in Tübingen habilitiert und zum Privatdozenten ernannt. 1980 wurde Kurth als Leiter der Abteilung Virologie an das Paul-Ehrlich-Institut nach Frankfurt am Main berufen, das er von 1986 bis 2001 als dessen Präsident leitete, die letzten fünf Jahre zugleich mit dem Robert Koch-Institut (RKI). Ab 1983 war er Honorarprofessor an der Universität Frankfurt. Seit September 2004 war er zudem kommissarischer Leiter des BonnerBundesinstituts für Arzneimittel und Medizinprodukte.
Auch nach seiner Pensionierung forschte Kurth weiterhin im RKI. Forschungsschwerpunkte waren die funktionelle Charakterisierung der so genannten endogenen Retroviren des Menschen, die Entwicklung eines HIV-Impfstoffes und die Untersuchung von endogenen Retroviren des Schweins, die möglicherweise bei einer künftigen Xenotransplantation von Schweinegewebe oder -organen auf den Menschen Schaden anrichten könnten.
Kurth verknüpfte die Erkenntnisse der Infektionsforschung immer wieder auch mit anderen gesellschaftlichen Fragen. So forderte er zum Beispiel, finanzschwache Staaten beim Infektionsschutz zu unterstützen. Zu seinem Selbstverständnis gehörte es auch, die breite Öffentlichkeit über Gesundheitsrisiken zu informieren, auch wenn das RKI aufgrund der gesetzlichen Vorgaben primär Fachöffentlichkeit und Politik berät.