En matemáticas, la delta de Kronecker (llamada así en referencia al matemático alemán Leopold Kronecker) es una función de dos variables, generalmente solo números enteros no negativos. La función vale 1 si las dos variables son iguales y 0 en caso contrario:
donde la delta de Kronecker δij es una función definida a intervalos de las variables i y j. Por ejemplo, δ1 2 = 0, mientras que δ3 3 = 1.
La delta de Kronecker aparece de forma natural en muchas áreas de las matemáticas, la física y la ingeniería, como un medio para expresar de manera compacta su definición anterior.
Aquí los vectores euclídeos se definen como n-tuplas: y y el último paso se obtiene utilizando los valores de la delta de Kronecker para reducir la suma sobre j.
La restricción a números enteros positivos o no negativos es común, pero de hecho, la delta de Kronecker se puede definir en un conjunto arbitrario.
Propiedades
Se satisfacen las siguientes ecuaciones:
Por tanto, la matriz δ puede considerarse como una matriz identidad.
A menudo, se usa una notación de un solo argumento δi, que es equivalente a establecer j = 0:
En álgebra lineal, se puede considerar como un tensor y se escribe δi j. A veces, la delta de Kronecker se denomina tensor de sustitución.[1]
Procesamiento de señales digitales
En el estudio del procesamiento digital de señales, la función de muestra unitaria representa un caso especial de una función delta de Kronecker bidimensional , donde los índices de kronecker incluyen el número cero, y donde uno de los índices es cero. En este caso:
O más generalmente, donde:
Sin embargo, este es solo un caso muy especial. En el cálculo tensorial, es más común numerar los vectores base en una dimensión particular comenzando con el índice 1, en lugar del índice 0. En este caso, la relación no existe y, de hecho, la delta de Kronecker y la muestra unitaria son funciones realmente diferentes que por casualidad se superponen en un caso específico, en el que los índices incluyen el número 0, el número de índices es 2 y uno de los índices tiene el valor de cero.
Si bien la función de muestra unitaria discreta y la función delta de Kronecker usan la misma letra, difieren de las siguientes maneras. Para la función de muestra unitaria discreta, es más convencional colocar un único índice entero entre llaves; por el contrario, la delta de Kronecker puede tener cualquier número de índices. Además, el propósito de la función de muestra unitaria discreta es diferente de la función delta de Kronecker. La función de muestra unitaria discreta se usa típicamente como una función de entrada a un sistema discreto para descubrir la función de salida del sistema que se generará. Por el contrario, el propósito típico de la función delta de Kronecker es filtrar los términos de un convenio de suma de Einstein.
La función de muestra de unidad discreta se define más simplemente como:
Además, el procesamiento de señales digitales dispone de una función llamada delta de Dirac, que a menudo se confunde tanto con la función delta de Kronecker como con la función de muestra unitaria. La delta de Dirac se define como:
A diferencia de la función delta de Kronecker y la función de muestra unitaria , la función delta de Dirac no tiene un índice entero, tiene un único valor continuo no entero t.
y de hecho, la delta de Dirac a veces se denomina delta de Kronecker debido a esta propiedad análoga. En el procesamiento de señales, suele ser el contexto (tiempo discreto o continuo) el que distingue las "funciones" de Kronecker y de Dirac. Y por convención, δ(t) generalmente indica tiempo continuo (Dirac), mientras que argumentos como i, j, k, l, m y n generalmente se reservan para tiempo discreto (Kronecker). Otra práctica común es representar secuencias discretas con corchetes; así: δ[n]. La delta de Kronecker no es el resultado de muestrear directamente la función delta de Dirac.
De manera equivalente, la función de densidad de probabilidadf(x) de la distribución se puede escribir usando la función delta de Dirac como
En determinadas condiciones, la delta de Kronecker puede surgir del muestreo de una función delta de Dirac. Por ejemplo, si un impulso delta de Dirac ocurre exactamente en un punto de muestreo e idealmente se filtra en paso bajo (con corte en la frecuencia crítica) según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la señal de tiempo discreto resultante será una función delta de Kronenberg.
Generalizaciones
Si se considera como un tipo de tensor(1,1), el tensor de Kronecker se puede escribir como δi j con un índice covariantej y un índice contravariantei:
Este tensor representa:
La aplicación identidad (o matriz de identidad), considerado como la aplicación linealV → V o V∗ → V∗
La delta generalizada de Kronecker o delta de Kronecker multi-índice de orden 2p es un tensor tipo (p,p) que es completamente antisimétrico en sus índices superiores p, y también en sus índices inferiores p.
Se utilizan dos definiciones que difieren en un factor de p!. A continuación, la versión que se presenta tiene componentes distintos de cero escalados para ser ±1. La segunda versión tiene componentes distintos de cero que son ±1/p!, con los consiguientes cambios en los factores de escala en las fórmulas, como los factores de escala de 1/p! en propiedades de la delta de Kronecker generalizada que figuran a continuación, desaparecen.[3]
Definiciones de la delta de Kronecker generalizada
En términos de índices, la delta de Kronecker generalizada se define como:[4][5]
Para cualquier entero n, utilizando un cálculo de residuos estándar, se puede escribir una representación integral para la delta de Kronecker como la integral de abajo, donde el contorno de la integral va en sentido antihorario alrededor de cero. Esta representación también es equivalente a una integral definida por una rotación en el plano complejo.
Peine de Kronecker
La función peine de Kronecker con el período N se define (utilizando la notación usada en procesamiento digital de señales) como:
donde N y n son números enteros. El peine de Kronecker consta así de una serie infinita de impulsos unitarios N separados, e incluye el impulso unitario en cero. Puede considerarse que es el análogo discreto del peine de Dirac.
Integral de Kronecker
La delta de Kronecker también se denomina grado de aplicación de una superficie a otra.[12] Supóngase que se lleva a cabo una aplicación desde la superficie Suvw a Sxyz que son los límites de las regiones, Ruvw y Rxyz, y que están simplemente conectadas con una correspondencia de uno a uno. En este marco, si s y t son parámetros para Suvw, y Suvw a Suvw están orientados según la normal externa de orden n:
mientras que la normal tiene la dirección de
Sean x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) definidas y suaves en un dominio que contenga Suvw, de forma que estas ecuaciones definan la aplicación de Suvw en Sxyz. Entonces, el grado δ de mapeo es 1/4π veces el ángulo sólido de la imagen S de Suvw con respecto al punto interior de Sxyz, O. Si O es el origen de la región, Rxyz, entonces el grado, δ viene dado por la integral:
↑Spiegel, Eugene; O'Donnell, Christopher J. (1997), Incidence Algebras, Pure and Applied Mathematics 206, Marcel Dekker, ISBN0-8247-0036-8, (requiere registro)..
↑Una definición recursiva requiere un primer caso, que puede tomarse como δ = 1 para p = 0, o alternativamente δμ ν = δμ ν para p = 1 (delta generalizado en términos de delta estándar).
↑Hassani, Sadri (2008). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd edición). Springer-Verlag. ISBN978-0-387-09503-5.
His EminenceYves-Marie-Joseph Congar, O.P.Cardinal Deacon Basilica of San Sebastiano al PalatinoPenunjukan25 Juli 1930Masa jabatan berakhir22 Juni 1995ImamatTahbisan imam25 Juli 1930Pelantikan kardinal26 November 1994PeringkatKardinal DiakonInformasi pribadiLahir(1904-04-08)8 April 1904Sedan, Ardennes, PrancisWafat22 Juni 1995(1995-06-22) (umur 91)Paris, PrancisKewarganegaraanPrancisDenominasiKatolik Roma Kardinal Yves Marie Joseph Congar (lahir 8 April 1904, meninggal 22 Juni 1995) adalah …
Hubungan Indonesia–Mexico Indonesia Meksiko Hubungan Indonesia dengan Meksiko mengacu kepada hubungan bilateral antara Indonesia dan Meksiko. Kedua negara melihat kerja sama yang dijalin merupakan mitra penting dari tiap regional, dimana Indonesia berada di Asia Tenggara dan Meksiko berada di Amerika Latin.[1] Kedua negara merupakan anggota dari Kerja Sama Ekonomi Asia Pasifik, Forum Kerja Sama Asia Timur dengan Amerika Latin, G15, G20, Perserikatan Bangsa-Bangsa, dan Organisasi Perdag…
2019 professional wrestling event Victory Road (2019)[1]Promotional poster featuring various Impact wrestlersPromotionImpact WrestlingWorld Class RevolutionDateSeptember 14, 2019CityEnid, OklahomaVenueStride Bank CenterImpact Plus Monthly Specials chronology ← PreviousUnbreakable Next →Prelude to Glory Victory Road chronology ← Previous2017 Next →2020 Victory Road (2019) was a professional wrestling event produced by Impact Wrestling, in conjunction with World…
American politician Mark A. Howland (born August 20, 1954) is a former representative to the Massachusetts General Court from New Bedford, Massachusetts. Mark A. Howland in 2003 Biography This section of a biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Fin…
Federasi Sepak Bola KenyaCAFDidirikan1960Bergabung dengan FIFA1960Bergabung dengan CAF1968PresidenMohammed HatimyWebsitewww.kff.co.ke Federasi Sepak Bola Kenya (Inggris: Kenya Football Federation (KFF) adalah badan pengendali sepak bola di Kenya. Kompetisi Badan ini menyelenggarakan beberapa kompetisi di Kenya, yakni: Liga Utama Kenya Liga Nasional Kenya Piala Federasi Sepak Bola Kenya Tim nasional Badan ini juga merupakan badan pengendali dari 3 tim nasional di Kenya, yakni: Tim nasional pr…
Penyuntingan Artikel oleh pengguna baru atau anonim untuk saat ini tidak diizinkan.Lihat kebijakan pelindungan dan log pelindungan untuk informasi selengkapnya. Jika Anda tidak dapat menyunting Artikel ini dan Anda ingin melakukannya, Anda dapat memohon permintaan penyuntingan, diskusikan perubahan yang ingin dilakukan di halaman pembicaraan, memohon untuk melepaskan pelindungan, masuk, atau buatlah sebuah akun. Kepulauan Seribu Pulau SeribuPulo S'ribuDaerah tingkat IIDari atas; kiri ke bawah: G…
Italian professional footballer This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Andrea Caracciolo – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2010) (Learn how and when to remove this t…
Chemical compounds that regulate plant growth and development Lack of the plant hormone auxin can cause abnormal growth (right) Plant hormones (or phytohormones) are signal molecules, produced within plants, that occur in extremely low concentrations. Plant hormones control all aspects of plant growth and development, including embryogenesis,[1] the regulation of organ size, pathogen defense,[2][3] stress tolerance[4][5] and reproductive development.[6…
Canadian poet Jeramy DoddsBorn (1974-12-04) 4 December 1974 (age 49)Ajax, Ontario, CanadaNationalityCanadianNotable awardsBronwen Wallace Memorial Award (2006), CBC Literary Award (2007), Trillium Book Award (2009) Jeramy Dodds (born 4 December 1974 in Ajax, Ontario) is a Canadian poet. Born in Ajax, Ontario, Dodds grew up in Orono, Ontario. He studied English literature and anthropology at Trent University, medieval Icelandic studies at The University of Iceland, and has worked as a resear…
NS26 EW14 Stasiun MRT Raffles Place莱佛士坊地铁站ராஃபிள்ஸ் பிளேஸ்Angkutan cepatSouth-bound platform of Raffles Place StationLokasi5 Raffles PlaceSingapura 048618Koordinat1°17′1.97″N 103°51′5.52″E / 1.2838806°N 103.8515333°E / 1.2838806; 103.8515333Jalur Jalur Utara Selatan Jalur Timur Barat Jumlah peronPulau bersusunJumlah jalur4LayananBus, TaksiKonstruksiJenis strukturBawah tana…
American TV series or program Bakersfield P.D.Genre Sitcom police comedy Created byLarry LevinWritten by Richard Dresser Stephen Godchaux Directed by Michael Engler Bryan Gordon Starring Giancarlo Esposito Ron Eldard Chris Mulkey Tony Plana Jack Hallett Brian Doyle-Murray Theme music composerCarl FinchOpening themeBusy Office Rhumba performed by Brave ComboComposerJoseph VitarelliCountry of originUnited StatesOriginal languageEnglishNo. of seasons1No. of episodes17ProductionExecutive producerLar…
Voce principale: Società Sportiva Tivoli Calcio 1919. TivoliStagione 1923-1924Sport calcio Squadra Tivoli Allenatore Presidente Prima Divisione4º posto nel girone laziale della Lega Sud. 1922-1923 1924-1925 Si invita a seguire il modello di voce Questa pagina raccoglie i dati riguardanti il Tivoli nelle competizioni ufficiali della stagione 1923-1924. Indice 1 Rosa 2 Risultati 2.1 Prima Divisione 2.1.1 Girone laziale 2.1.1.1 Girone di andata 2.1.1.2 Girone di ritorno 3 Statistiche 3.1 Sta…
Canadian professional wrestler Ivan KoloffKoloff, c. 1982Birth nameOreal Donald Perras[1]Born(1942-08-25)August 25, 1942[2][1]Montreal, Quebec, CanadaDiedFebruary 18, 2017(2017-02-18) (aged 74)Winterville, North Carolina, U.S.[1]Cause of deathLiver cancerProfessional wrestling careerRing name(s)Ivan Koloff[2][1]Jim Parris[3]Orwell ParisRed McNulty[2]Billed height5 ft 9 in (175 cm)[4][5]Bille…
Эта статья или раздел нуждается в переработке.Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Мой шумный домангл. The Loud House Жанры комедийныйМультсериал Техники анимации компьютерная рисованная анимация (1—3 сезоны)flash-анимация (с 4 сезона) Создат…
Aircraft developmentThis article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Lockheed L-193 – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2011) (Learn how and when to remove this message) L-193 Constellation II Role Jet airlinerAerial refuelling tankerType of aircraft National origin United States Manufacturer …
Snoop Dogg single I Wanna RockSingle by Snoop Doggfrom the album Malice n Wonderland ReleasedNovember 17, 2009Recorded2009GenreWest Coast hip hopLength3:56Label Priority Doggystyle Songwriter(s) J. Brown C. Broadus R. Ginyard E. Molina Producer(s)Scoop DeVilleSnoop Dogg singles chronology That's Tha Homie (2009) I Wanna Rock (2009) Pronto (2009) I Wanna Rock is the third official single from American rapper, Snoop Dogg's tenth studio album, Malice n Wonderland. It was released digitally on i…