En mathématiques, les anneaux réguliers forment une classe d'anneaux très utile en géométrie algébrique. Ce sont des anneaux qui localement sont les plus proches possibles des anneaux de polynômes sur un corps.
Par le lemme de Nakayama, cela équivaut à dire que est engendré par éléments. Tout système de générateurs de avec éléments est alors appelé un système de paramètres régulier de .
Un anneau local qui n'est pas régulier est dit singulier.
Théorème —
Soit un anneau local noethérien régulier. Alors pour tout idéal premier de , le localisé (qui est un anneau local d'idéal maximal ) est régulier.
Tout anneau principal est régulier. En effet la localisation d'un tel anneau en un idéal premier est soit un corps (si l'idéal premier est 0), soit un anneau local principal, auquel cas la dimension de l'anneau et la dimension de l'espace tangent valent 1 tous les deux.
Si A est intègre de dimension 1, alors A est régulier si et seulement s'il est intégralement clos (c.-à-d. tout élément du corps des fractions de A entier sur A appartient nécessairement à A). Donc c'est équivalent à ce que A soit de Dedekind.
Un anneau de séries formellesk[[T1, … , Tn]] à coefficients dans un corps k est régulier.