De Lellis a apporté un certain nombre de contributions remarquables dans les différents domaines relatifs aux équations aux dérivées partielles. En théorie géométrique de la mesure, il s'est intéressé à l'étude de la régularité et des singularités pour minimiser des hypersurfaces, poursuivant un programme visant à découvrir de nouvelles facettes de la théorie initiée par Almgren dans son Big Regularity Paper[2],[3].
Almgren y donne la preuve de son célèbre théorème de régularité(en) qui affirme que l'ensemble singulier d'une surface de dimension m minimisant la masse est de dimension au plus m − 2. De Lellis a également travaillé sur divers aspects de la théorie des systèmes hyperboliques de lois de conservation, et de la dynamique des fluides incompressibles. En particulier, en collaboration avec László Székelyhidi, il a introduit l'utilisation de méthodes d'intégration convexe[4] et des inclusions différentielles(en) pour analyser la non-unicité des possibilités pour les solutions faibles de l'équation d'Euler[5].
Rectifiable sets, densities and tangent measures. Zurich Lectures in Advanced Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zurich, 2008. (ISBN978-3-03719-044-9)
avec László Székelyhidi : The Euler equations as a differential inclusion. Ann. of Math. (2) 170 (2009), no. 3, 1417–1436.
↑(en) Camillo De Lellis et László Székelyhidi Jr., « The Euler equations as a differential inclusion », Annals of Mathematics, vol. 170, no 3, , p. 1417-1436 (lire en ligne).