La catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 4½, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés.
Si on note des objets de (ce sont des complexes de chaînes), un morphisme est appelé quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme en cohomologie. On note Q la collection des quasi-isomorphismes, alors la catégorie dérivée de A est la localisation de par Q.
En se restreignant aux complexes bornés inférieurement, supérieurement ou bornés, on construit respectivement , et
Il est également possible de définir la catégorie dérivée d'une catégorie exacte.
Lien avec les foncteurs dérivés
La catégorie dérivée est un objet dont les morphismes ne peuvent pas en général être manipulés aisément, au contraire de la catégorie . Il existe un foncteur canonique
en est un représentant et coïncide avec la définition usuelle. Le foncteur dérivé à gauche est défini de manière duale.
Le foncteur est une équivalence de catégories si on le restreint à une sous-catégorie .
En supposant que A possède assez d'injectifs on peut utiliser une résolution injective (ou, de manière duale, s'il y a assez d'objets projectifs, considérer une résolution projective), et définir à partir d'elle un foncteur dérivé à droite (respectivement, à gauche) pour tout foncteur exact à gauche (respectivement, à droite). On définit alors les foncteurs et