En topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinagescompacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov.
Motivations
La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante. En particulier, le fait qu'un espace métrique doit être borné pour être compact fait que les résultats concernant les espaces compacts ne sont presque jamais applicables aux espaces métriques rencontrés, qui sont très rarement bornés.
Cependant, on peut appliquer ces résultats à certains espaces métriques non bornés (notamment aux espaces vectoriels normés) à condition que l'objet étudié respecte certaines propriétés supplémentaires, qui permettent d'y appliquer les outils développés pour les espaces compacts.
Par exemple, toute suite de points d'un compact admet une valeur d'adhérence ; le cas élémentaire du théorème de Bolzano-Weierstrass dit qu'une suite bornée de points de ℝ (ou plus généralement de ℝn) admet une valeur d'adhérence. Or ni ℝ ni ℝn ne sont compacts, mais en ajoutant « bornée » on peut conclure quelque chose, car ℝ et ℝn sont localement compacts. De même, dans un espace métrique localement compact, toute suite bornée possèdera une sous-suiteconvergente.
Définitions
Un espace topologique X est dit localement compact s’il est séparé(cette condition de séparation est parfois omise)[réf. nécessaire] et si tout point x élément de X admet un voisinage compact, autrement dit si x appartient à un ouvertrelativement compact (c'est-à-dire d'adhérence compacte, ou encore : inclus dans un compact).
Cette définition implique[1] la caractérisation suivante (parfois prise comme définition) : un espace topologique séparé X est localement compact si et seulement si tout point de X admet une base de voisinages compacts.
Preuves de l'implication
Soit x un point de X, que l’on suppose vérifier la première définition : il possède alors un voisinage compact K.
Il suffit de montrer que pour tout voisinage U de x, il existe un voisinage fermé F contenu dans U et dans K.
La frontière ∂(U∩K) est fermée et incluse dans K ; elle est donc compacte. Par séparation, pour chacun de ses points y, il existe un voisinage ouvert Vy de y et un voisinage Wy contenu dans U∩K de x disjoints. Or, la famille des ouverts (Vy)y∈∂(U∩K)recouvre∂(U∩K) ; il existe donc un sous-recouvrement fini Vy1, …, Vyn et Wy1 ∩ … ∩ Wyn est un voisinage de x ne rencontrant aucun des Vyi : son adhérence est incluse dans U∩K.
Seconde preuve
Dans K, qui est compact donc régulier (et même normal)[3], les voisinages compacts de x forment une base de voisinages. Ils forment donc aussi une base de voisinages de x dans X, puisque K est un tel voisinage.
Propriétés
Tout espace compact est localement compact.
Dans un espace localement compact, tout compact est inclus dans un ouvert relativement compact[4].
Comme (par définition) toute « propriété topologique », la compacité locale est conservée par homéomorphismes.
Un sous-espace Y d'un espace localement compact X est lui-même localement compact si et seulement s'il peut s'écrire comme la différence de deux fermés de X : Y = F1\F2.
En particulier, tous les ouverts et les fermés d'un espace localement compact sont localement compacts.
Pour les réciproques, considérons un espace localement compact.
Supposons que est σ-compact, donc recouvert par une suite de compacts. Chaque est inclus dans un ouvert relativement compact . On pose alors, pour tout , . Les ouverts recouvrent et forment une suite croissante donc tout compact de est inclus dans l'un d'entre eux, et a fortiori dans son adhérence. Comme de plus les sont compacts, est hémicompact.
Supposons maintenant que est de Lindelöf. Tout point appartient à un ouvert relativement compact . On peut alors extraire de un sous-recouvrement dénombrable. Les adhérences des éléments de ce recouvrement sont compacts et recouvrent , qui est donc σ-compact.
L'espace ℝ des réels est le prototype d'espace localement compact mais non compact.
Le produit fini ℝn, pour tout entier n > 0, hérite de ces deux propriétés.
Tout espace homéomorphe à un tel ℝn également : par exemple ℂm (pour tout entier m > 0), l'intervalle ]0, 1[ ou le disque ouvert {z ∈ ℂ | |z| < 1} du plan complexe.
le « demi-plan ouvert plus un point » : {(0, 0)} ∪ {(x, y) ∈ ℝ2 | x > 0} c'est-à-dire les points du plan d'abscisse strictement positive plus l'origine. Dans ce cas, c'est justement l'origine qui pose un problème, car elle n'a aucun voisinage compact.