Fonction quantile

Principales caractéristiques
Notation
Ensemble de définition

En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles.

Définition formelle

Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par

Q(q)=F^{\leftarrow }(q)=\inf \left\{x:F(x)\geqslant q\right\}

pour toute valeur de $q\in [0,1]$ ^[1], la notation $F^{\leftarrow }$ désignant l’inverse généralisé à gauche de $F$ .

Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors $Q(q)$ est l'unique valeur de $x$ telle que $F(x)=q$ . $F^{\leftarrow }$ correspond alors à la fonction réciproque^[1] de $F$ , notée $F^{-1}$ . En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.

On dit que :

$Q(0,\!5)$ est la médiane ;
$Q(0,\!25)$ le premier quartile ;
$Q(0,\!75)$ le troisième quartile ;
$Q(0,\!1)$ le premier décile et
$Q(0,\!9)$ le neuvième décile.

Exemples

Lois continues

Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre $λ$ est :

F(x;\lambda )=1-{\rm {e}}^{-\lambda x}1\!\!1_{x\geq 0}

La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ $p$ < 1, la valeur $Q$ tel que $1-{\rm {e}}^{-\lambda Q}=p$ soit :

Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!

Les quartiles sont donc :

premier quartile ( $p$ = 1/4): $-\ln(3/4)/\lambda \,$
médiane ( $p$ = 2/4) : $-\ln(1/2)/\lambda \,$
troisième quartile ( $p$ = 3/4) : $-\ln(1/4)/\lambda .\,$

De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :

loi de Cauchy de paramètres $x 0$ et $a$
$Q(p;x_{0},a)=x_{0}+a\tan \left(\pi \left(p-{\frac {1}{2}}\right)\right)$
loi logistique de paramètres $μ$ et $s$
$Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\operatorname {artanh} (2p-1)$
loi de Laplace
$Q(p;\mu ,b)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0,5)\,\ln(1-2|p-0,5|).$

Loi de Tukey-lambda

La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :

Q(p;\lambda )={\frac {p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }}{\lambda }},\ \lambda \in \mathbb {R}

Notes et références

↑ ^{a et b} (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, New York, Springer-Verlag, 15 septembre 2004, 461 p. (ISBN 978-0-387-40272-7, lire en ligne), définition 2.16, page 25.