Visualisation du développement du binôme de Newton.
La formule du binôme de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton[1] pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme ou formule de Newton.
Une preuve plus intuitive[5] utilise le fait que le coefficient binomial est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments. Quand on développe l'expression
,
on obtient une somme de monômes de la forme xjyk où j et k représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi x ou y en développant. On a forcément j = n – k, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas y, on choisit x. Enfin, comme il y a manières différentes de choisir k fois la valeur y parmi les n expressions (x + y) multipliées ci-dessus, le monôme xn–kyk doit apparaître dans le développement avec le coefficient .
Généralisations
La démonstration par récurrence peut être calquée pour démontrer la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit.
Il est également possible de généraliser la formule à des sommes de m termes complexes élevées à une puissance entière n (voir l'article Formule du multinôme de Newton) :
Enfin, les méthodes du calcul ombral permettent d’obtenir des formules analogues (où les exposants sont remplacés par des indices) pour certaines suites de polynômes, tels que les polynômes de Bernoulli.