Le décalage unilatéral, ou shift unilatéral, ou simplement shift, est l'opérateur
Le décalage bilatéral est l'opérateur
Le shift unilatéral S est donc la restriction du shift bilatéral W à ℓ2(ℕ), vu comme sous-espace de ℓ2(ℤ) en complétant par des zéros toute suite indexée par ℕ pour la transformer en une suite indexée par ℤ.
Tout opérateur unitaire est à distance 2 de S[1],[2].
Spectre
Le spectre de S est le disqueunité fermé. Aucune valeur spectrale n'est valeur propre et l'ensemble des valeurs propres approchées est le cercle unité. L'ensemble des valeurs spectrales résiduelles est donc le disque ouvert.
Le spectre de S* est également le disque unité fermé et le cercle unité est encore l'ensemble des valeurs propres approchées mais cette fois, tout élément du disque ouvert est une valeur propre, le sous-espace propre associé à λ étant la droite vectorielle des suites géométriques de raison λ.
Soient H et H' deux espaces de Hilbert. Deux opérateurs T ∈ B(H) et T' ∈ B(H') sont dits unitairement équivalents s'il existe un opérateur unitaire U : H' → H tel que T' = U*TU. Cette notion permet de décrire toutes les isométries sur H : ce sont essentiellement les sommes directes d'un opérateur unitaire et de plusieurs copies de S. Plus précisément :
Pour toute isométrie T sur H, il existe une décomposition de H en somme directe de sous-espaces stables telle que soit unitaire et chaque soit unitairement équivalent au shift S.
Le sous-espace peut être nul. L'autre cas extrême est celui où G = H, ou encore I = ∅, c'est-à-dire où T est unitaire.
La décomposition n'est pas unique. On peut l'obtenir en choisissant une base hilbertienne de et en prenant pour le sous-espace de base hibertienne .
Représentation sur l'espace de Hardy
L'espace de HardyH2(𝔻) est un espace de Hilbert isomorphe à ℓ2(ℕ), car il peut être vu comme un sous-espace de l'espace L2 du cercle unité, une base hilbertienne de ce sous-espace étant constituée des applications . Via cet isomorphisme, le shift S est unitairement équivalent à l'opérateur de multiplication par e1 sur H2(𝔻).
↑(en) C.-S. Lin, « The unilateral shift and a norm equality
for bounded linear operators », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 127, , p. 1693-1696 (lire en ligne).