È un centrocampista abile nel giocare dietro le punte, dotato di un'ottima tecnica di dribbling che gli permette di superare l'avversario diretto nell'uno-contro-uno. Baumgartner è un trequartista molto offensivo, infatti oltre a usare il proprio gioco in fase di costruzione tramite le rifiniture, egli riesce a trovare anche la conclusione calciando con il destro, il suo piede forte.
Carriera
Club
Hoffenheim
Cresciuto nelle giovanili del St. Pölten, nel 2017 è stato acquistato dall'Hoffenheim che lo ha aggregato alla seconda squadra. L'11 maggio 2019 debutta in prima squadra nella sconfitta per 1-0 contro il Werder Brema. Nella stagione 2019-2020 del campionato tedesco segna la sua prima rete nella massima divisione tedesca con il gol del 2-0 battendo l'Union Berlin, segna persino una doppietta sconfiggendo per 3-1 il Colonia. Durante l'Europa League segna un gol sia contro il Stella Rossa che contro lo Slovan Liberec vincendo per 2-0 entrambi i match. Nella stagione 2020-2021 segna un gol sconfiggendo per 4-0 il Werder Brema, un'altra rete la segna battendo per 3-0 il Colonia, sigla un gol prevalendo per 2-1 contro il Wolfsburg infine è autore di una rete nella vittoria per 4-2 in rimonta contro lo Schalke 04. Nella stagione successiva segna un gol sia contro il Wolfsburg vincendo per 3-1 che contro il Colonia imponendosi per 5-0, inoltre la doppietta da lui realizzata consegna la vittoria su 2-1 contro lo Stoccarda. Nella sua ultima stagione con l'Hoffenheim segna un gol battendo per 3-2 il Bochum, un'altra rete la segna sconfiggendo per 3-0 il Bayer Leverkusen, sigla un gol nella vittoria per 2-1 contro il Werder Brema, l'ultima rete riesce a realizzarla vincendo per 3-1 contro l'Eintracht Francoforte.
RB Lipsia
Il 23 giugno 2023 viene acquistato a titolo definitivo dal RB Lipsia per 24 milioni di euro.[1]Segna il gol del 6-0 battendo il Colonia, sigla la rete del 3-1 sconfiggendo il Friburgo, è autore del gol del 2-0 vincendo ai danni del Darmstadt e segna la rete del 4-1 battendo il Borussia Dortmund.
Il 4 settembre 2020 debutta in nazionale maggiore nel successo per 2-1 contro la Norvegia in UEFA Nations League.[2] Tre giorni dopo invece realizza la sua prima rete con la selezione austriaca nella sconfitta per 3-2 contro la Romania.[3] Convocato per Euro 2020, scende in campo da titolare in occasione delle quattro partite giocate dalla selezione austriaca e il 21 giugno 2021 realizza il gol del decisivo 1-0 contro l'Ucraina che consente agli austriaci di qualificarsi agli ottavi da secondi.[4]
Il 21 novembre 2023 con un gol e un assist vincente decide la vittoria per 2-0 in amichevole contro al Germania, il 23 marzo 2024, in occasione un'altra amichevole vinta sempre 2-0 in casa contro la Slovacchia, realizza, dopo soli 6 secondi, il gol più veloce nella storia del calcio internazionale.[5][6][7]
Convocato per l'Europeo 2024 segna un gol sconfiggendo per 3-1 la Polonia, inoltre grazie a un suo assist il suo compagno di squadra Marcel Sabitzer segna la rete del 3-2 battendo i Paesi Bassi.