In statistica, l'indice di correlazione di Pearson (anche detto coefficiente di correlazione lineare[1], coefficiente di correlazione di Pearson o coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson) tra due variabili statistiche è un indice che esprime un'eventuale relazione di linearità tra esse.[1]
Secondo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ha un valore compreso tra e dove corrisponde alla perfetta correlazione lineare positiva, corrisponde a un'assenza di correlazione lineare e corrisponde alla perfetta correlazione lineare negativa. Fu sviluppato da Karl Pearson da un'idea introdotta da Francis Galton nel 1880; la formula matematica fu derivata e pubblicata da Auguste Bravais nel 1844.[2][3][4] La denominazione del coefficiente è anche un esempio della legge di Stigler.
Il coefficiente assume sempre valori compresi tra e [5]
Correlazione e indipendenza
Nella pratica si distinguono vari "tipi" di correlazione.
Se , le variabili e si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;
se , le variabili e si dicono incorrelate;
se , le variabili e si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.
Inoltre per la correlazione diretta (e analogamente per quella inversa) si distingue:
se si ha correlazione debole;
se si ha correlazione moderata;
se si ha correlazione forte.
Se le due variabili sono indipendenti allora l'indice di correlazione vale 0. Non vale la conclusione opposta: in altri termini, l'incorrelazione è condizione necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza. Per esempio data la distribuzione
X:
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y:
9
4
1
0
1
4
9
abbiamo che e non sono indipendenti in quanto legate dalla relazione , ma .
L'ipotesi di assenza di autocorrelazione è più restrittiva ed implica quella di indipendenza fra due variabili.
L'indice di correlazione vale in presenza di correlazione lineare positiva perfetta (cioè , con ), mentre vale in presenza di correlazione lineare negativa perfetta (cioè , con ).
Valori prossimi a (o ) possono essere misurati anche in presenza di relazioni non lineari. Per esempio, la seguente relazione quadratica:
X:
1
2
3
4
Y:
1
4
9
16
produce un coefficiente .
Generalizzazione a più di due variabili
Gli indici di correlazione di variabili possono essere presentati in una matrice di correlazione, che è una matrice quadrata di dimensione avente sia sulle righe che sulle colonne le variabili oggetto di studio. La matrice è simmetrica, cioè , e i coefficienti sulla diagonale valgono in quanto
Proprietà matematiche
Un valore dell'indice di correlazione uguale a o corrisponde a punti che si trovano esattamente su una linea retta. Il coefficiente di correlazione di Pearson è simmetrico:
Una proprietà matematica caratteristica del coefficiente di correlazione di Pearson è che non varia rispetto ai cambiamenti singoli della posizione e della scala delle due variabili. Cioè, possiamo trasformare in e trasformare in dove e sono costanti reali con senza modificare il coefficiente di correlazione.
library(dplyr)World_Bank_Data<-read.csv("World_Bank_Data.csv")df1<-World_Bank_Data%>%filter(Series.Name=="Fertility rate, total (births per woman)")%>%select(Country.Name,X2020..YR2020.)colnames(df1)[2]<-"Numero di figli per donna"df2<-World_Bank_Data%>%filter(Series.Name=="GDP per capita (current US$)")%>%select(Country.Name,X2020..YR2020.)colnames(df2)[2]<-"Pil procapite"df1<-merge(df1,df2,by="Country.Name")df1$`Numero di figli per donna`<-as.numeric(df1$`Numero di figli per donna`)df1$`Pil procapite`<-as.numeric(df1$`Pil procapite`)df1<-df1[-which(is.na(df1$`Pil procapite`)),]df1<-df1[-which(is.na(df1$`Numero di figli per donna`)),]cor(df1$`Numero di figli per donna`,df1$`Pil procapite`,)
-0.4601806
Note
^abGlossario Istat, su www3.istat.it (archiviato dall'url originale il 31 dicembre 2011).
Francis Galton, il primo a introdurre la lettera r (come abbreviazione di "regressione") anche se utilizzava un coefficiente diverso, in quanto normava usando lo scarto interquartile.