Slalomista puro originario di Tärnaby e attivo in gare FIS dal dicembre del 2000, Byggmark ha esordito in Coppa Europa il 2 dicembre 2003 a Åre, senza qualificarsi per la seconda manche, e in Coppa del Mondo di sci alpino il 23 gennaio 2005 a Kitzbühel, senza completare la prima manche. Il 15 dicembre 2005 a Obereggen ha colto il suo primo podio in Coppa Europa (2º) e un mese dopo, il 15 gennaio 2006 a Oberjoch, ha vinto la sua prima gara nel circuito continentale.
In Coppa del Mondo ha conquistato la prima vittoria, nonché primo podio, il 27 gennaio 2007 a Kitzbühel e il giorno successivo ha vinto nuovamente sulla Streif, che in quella stagione ospitò lo slalom speciale di Kitzbühel in luogo della consueta Ganslern; questi sono stati i suoi unici successi nel circuito. Ai successivi Mondiali di Åre, suo esordio iridato, ha vinto la medaglia d'argento nella gara a squadre, mentre non ha concluso le altre prove cui ha preso parte (oltre allo slalom speciale, lo slalom gigante e la supercombinata).
Il 22 dicembre 2014 ha colto a Madonna di Campiglio il suo ultimo podio in Coppa del Mondo (3º) e ai Mondiali di Vail/Beaver Creek 2015, suo congedo iridato, non ha completato la gara. Si è ritirato al termine della stagione 2016-2017; la sua ultima gara in carriera è stato lo slalom gigante di Coppa del Mondo disputato ad Adelboden l'8 gennaio, non completato da Byggmark.