べき乗法(冪乗法、べきじょうほう)とはある n × × --> n {\displaystyle n\times n} 行列の固有値のうち、絶対値最大のものを求める手法の総称であり、いくつかのバリエーションがある。累乗法とも呼ばれる。
典型的には、与えられた n × × --> n {\displaystyle n\times n} 行列 A {\displaystyle \mathbf {A} } に対して、適当な初期ベクトル x ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}} から始めて、逐次
を計算することで、 x ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}} が A {\displaystyle \mathbf {A} } の絶対値最大の固有値 λ λ --> 1 {\displaystyle \lambda _{1}} に属する固有ベクトルの方向に漸近していくことを利用し、
により絶対値最大の固有値を得る。ただしベクトル列 { x ( k ) } {\displaystyle \{\mathbf {x} ^{(k)}\}} が定ベクトルに収束していくわけではないことに注意する。
また、べき乗法に類似した、絶対値最小の固有値を求める方法として逆べき乗法がある。
簡単のため、 n × × --> n {\displaystyle n\times n} 行列 A {\displaystyle \mathbf {A} } の固有値 λ λ --> i ( i = 1 , 2 , ⋯ ⋯ --> , n ) {\displaystyle \lambda _{i}(i=1,2,\cdots ,n)} がすべて互いに異なり
であるとする。ここで、 λ λ --> i {\displaystyle \lambda _{i}} に属する A {\displaystyle \mathbf {A} } の固有ベクトルを u i {\displaystyle \mathbf {u} _{i}} とすると、 u i {\displaystyle \mathbf {u} _{i}} は
をみたす。また、 u i {\displaystyle \mathbf {u} _{i}} は互いに1次独立なので、初期ベクトル x ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}} はこれらの1次結合により
と表すことができる。ここで、 c 1 ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle c_{1}\neq 0} とすれば、 x ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}} は以下のように表される。
仮定より ∣ ∣ --> λ λ --> l / λ λ --> 1 ∣ ∣ -->< 1 ( l ≠ ≠ --> 1 ) {\displaystyle \mid \lambda _{l}/\lambda _{1}\mid <1\left(l\neq 1\right)} なので、 k → → --> ∞ ∞ --> {\displaystyle k\rightarrow \infty } のとき x ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}} は絶対値最大の固有値 λ λ --> 1 {\displaystyle \lambda _{1}} に属する固有ベクトル u 1 {\displaystyle \mathbf {u} _{1}} と同じ方向 c 1 λ λ --> 1 k u 1 {\displaystyle c_{1}{\lambda _{1}}^{k}\mathbf {u} _{1}} に近づいていく。
絶対値最大の固有値 λ λ --> 1 {\displaystyle \lambda _{1}} を求めるときは、
より、
となることを利用する。
行列 A {\displaystyle \mathbf {A} } の固有値が重複を持ち更に対角化可能でない場合も、ジョルダン標準形を考えれば同様の考え方で証明できる。
最大固有値と、その次に大きい固有値の差が小さすぎる場合、収束が極めて遅くなる。