「決定可能部分集合」や「帰納的可算部分集合」は古典数学と古典論理の基本である。すると当然ながら、ファジィ集合論にそれらを拡張するという問題が生じる。このような方向性の最初の提案は、E.S. Santos による「ファジィ・チューリングマシン」、「マルコフ正規ファジィアルゴリズム」、「ファジィ・プログラム」の提唱だった[5]。それに続いて L. Biacino と G. Gerla [6]がそれらの定義が適正でないことを示し、次のようなことを提案した。Ü は [0,1] の有理数の集合を意味する。
ファジィ集合 S のファジィ部分集合 s : S[0,1] が「帰納的可算」であるのは、帰納的写像 h : S×NÜ が存在する場合で、それはすなわち S の全ての x について関数 h(x,n) が n に対応して増加し、s(x) = lim h(x,n) となる場合である。s が「決定可能」であるのは、s とその補集合 –s が共に「帰納的可算」の場合である。Gerla 2006でL-部分集合の一般ケースでのこうした理論の拡張が示されている。提案されている定義はファジィ論理ともうまく整合している。実際、次の定理が成り立つ(ファジィ論理の推論機構が明らかな有効的特性を満たしているならば)。
ファジィ論理も確率も不確かさを別の方法で表現している。ファジィ論理も確率論も主観的信念を表現できるが、ファジィ集合論ではメンバシップの概念を使い、確率論ではベイズ確率の概念を使う。この区別は主に思想的なものだが、ファジィ論理に基づく確率測度は確率論の確率測度とは本質的に異なり、直接的に等価ではない。統計学者の多くはブルーノ・デ・フィネッティの業績を信じており、数学的不確かさを論じる理論は1つで十分であって、ファジィ論理は不要だと考えている。一方バート・コスコは、確率では一種類の不確かさしか表せないのだから、確率論がファジィ論理に包含されるとした。彼はまた、ファジィ集合論の概念からベイズの定理を導出できることを証明したと主張している。ファジィ論理を生み出したロトフィ・ザデーは、ファジィ論理は確率とは異なる性格を持つとし、確率を代替するものではないとした。彼は確率論の代替となる Possibility Theory も生み出している[8]。
^Novák, V. Are fuzzy sets a reasonable tool for modeling vague phenomena?, Fuzzy Sets and Systems 156 (2005) 341—348.
参考文献
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