波数(はすう、英: wavenumber)とは、波の空間周波数である。正弦波の波数は、波長の逆数、またはその 2π 倍として定義される。後者は前者と区別して、角波数(かくはすう、英: angular wavenumber)と呼ばれることがある。
直感的には、波数は単位長さの直線(または角波数の場合、単位円周上)に何波長分の波が入るかを表している。
波数を表す記号として、k, ~ν がよく用いられる。前者はもっぱら角波数に用いられ、後者は波長の逆数としての波数に用いられる。
波数の単位は、国際単位系では毎メートルが用いられる。また、CGS単位系では毎センチメートルが用いられる。波数は分光学において頻繁に現れる量であるため、カイザーがしばしば単位に用いられる。
分光学
物理化学や分光学の分野では単位長さ当たりの波の個数を指し、波数 ~ν は波長 λ の逆数
![{\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68eba92566c725eed7f22ef9f10ff1b68b63978)
となる。
しばしば波数 ~ν は間接的に光の周波数 ν を指すこともあり、真空中の光速度 c を用いて
![{\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85dc1566cd0229b311efa4a4ad04c61f7189af61)
と関係付けられる。
歴史的にはヨハネス・リュードベリが1880年代に初めて着目し、1908年にリュードベリ・リッツの結合原理において、公式の中に波数を現した。その後、スペクトル線に関する研究が進むにつれ、量子論によってエネルギー準位の差が波数や周波数に比例することがわかった。例えば、水素スペクトル系列はリュードベリの式(英語版)によって
![{\displaystyle {\tilde {\nu }}=R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72973aca599953ca32f8e892e61fb43bef02116b)
と表される。ここで、R∞ はリュードベリ定数、n, m (n < m) は主量子数である。
波動力学
波動力学では正弦波の波数を指し、波数 k は 2π を波長 λ で割った量
![{\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f567225915e2b51c00573536e20eee76db99740b)
となる。つまり、1 波長分の波を 1 個と数えたとき、波数 k は単位長さ当たりの波の個数を 2π 倍したものに相当する。このとき、k = 2π/λ は角波数 (angular wavenumber) と呼ばれる。
正弦波 u は振幅を A、振動数を ν、波長を λ とすると
![{\displaystyle u=A\sin 2\pi \left(\nu t-{\frac {x}{\lambda }}\right)=A\sin(\omega t-kx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c531fba90b71be6150ded2ebb24feb7682c8cc)
のように表示される。ここで、t は時刻、x は位置、ω は角振動数である[1]。
しばしばフーリエ変換において、実空間の座標の双対として波数 k が用いられる。また量子力学においては波数ベクトル k にディラック定数 ħ を掛けた ħk が運動量 p に対応する[2]。
波数ベクトル
古典的には、向きが波面の法線方向(つまり波の伝播方向)で、大きさが波数となるベクトルを、波数ベクトル(あるいは伝播ベクトル、wave vector, k-vector)と定義する。
なお、波数ベクトル k は十分大きな整数の組 (N1, N2, N3) を考えると、
![{\displaystyle {\boldsymbol {k}}={\frac {m_{1}}{N_{1}}}{\boldsymbol {b}}_{1}+{\frac {m_{2}}{N_{2}}}{\boldsymbol {b}}_{2}+{\frac {m_{3}}{N_{3}}}{\boldsymbol {b}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40c6794912ae5d39708b6c6003541d14b446111)
で表される。b = (b1, b2, b3) は逆格子空間での基本並進ベクトル。整数 m = (m1, m2, m3) は、いろいろな範囲設定が可能だが、一例としてそれぞれ (0, ⋯, N1 − 1; 0, ⋯, N2 − 1; 0, ⋯, N3 − 1) の範囲の任意の整数と設定できる。
脚注
- 出典
関連項目
外部リンク