Alfreð Finnbogason bracht een deel van zijn jeugd door in Edinburgh, omdat zijn vader daar studeerde. Hij speelde voor Hutcheson Vale en werd supporter van Hibernian FC. Zijn voetbalcarrière begon hij in 2008 bij Breiðablik in Kópavogur. In het seizoen 2009/10 maakte hij dertien doelpunten in achttien competitiewedstrijden. In 2010 was hij gedeeld competitietopscorer met veertien doelpunten en werd hij door zijn medespelers verkozen tot speler van het jaar. Breiðablik won in dat seizoen voor de eerste maal de competitie.
Op 21 november werd bekend dat Alfreð Finnbogason naar Lokeren zou komen, maar hier bleef een doorbraak uit. De club verhuurde hem in maart 2012 voor een half jaar aan Helsingborgs IF. Alfreð tekende op 16 augustus 2012 een driejarig contract bij sc Heerenveen, met een optie op een vierde jaar. Tien dagen later debuteerde hij, in een competitiewedstrijd tegen AZ, een duel dat in 0–0 eindigde. Alfreð Finnbogason maakte op 2 september 2012 zijn eerste treffer(s) voor Heerenveen, door in een thuiswedstrijd tegen regerend landskampioen AFC Ajax de 1–1 en de 2–1 te maken. Toenmalig Heerenveen-coach Marco van Basten gaf een week voor het einde van de transferperiode aan dat Alfreð, ondanks zijn prestaties in het voorafgaande seizoen, bij Heerenveen zou blijven, ongeacht welk bod er nog op hem gedaan zou worden.[1] Alfreð Finnbogason werd in het seizoen 2013/2014 met 29 doelpunten in 31 wedstrijden topscorer van de Eredivisie .
Heerenveen maakte op 2 juli 2014 bekend dat het met Real Sociedad tot een akkoord was gekomen over een transfer. Hij tekende een vierjarig contract bij de Spaanse club. Alfreð Finnbogason speelde dat jaar 25 competitiewedstrijden voor Sociedad, waarin hij twee keer scoorde. Hij beëindigde het seizoen met zijn ploeggenoten op de twaalfde plaats in de Primera División. Sociedad verhuurde Alfreð Finnbogason gedurende het seizoen 2015/16 aan Olympiakos Piraeus, op dat moment regerend kampioen van Griekenland. Dat bedong daarbij een optie tot koop.[2]
Na een uitleenbeurt aan FC Augsburg maakte Alfreð in 2016 ook definitief de overstap naar de Duitse club. Tijdens zijn eerste seizoen bij Augsburg speelde hij door blessures slechts veertien wedstrijden, waarin hij driemaal scoorde. Het volgende seizoen kwam hij twaalf keer tot scoren, één keer minder dan de topschutter van dat seizoen, Michael Gregoritsch. Op 30 september 2018 maakte Alfreð een hattrick in de met 4-1 gewonnen wedstrijd tegen Freiburg. Hierdoor passeerde hij Tobias Werner als topschutter van Augsburg in de Bundesliga.