Cyklogon

Cyklogon – krzywa powstająca jako tor punktu wielokąta foremnego toczącego się bez poślizgu wzdłuż prostej^[1].

Cyklogon powstaje przy toczeniu wielokąta po prostej. Można rozważyć bardziej ogólną sytuację, w której jeden wielokąt foremny toczy się po innym wielokącie foremnym o tej samej długości boku^[2].

W granicy, gdy liczba boków wielokąta dąży do nieskończoności, cyklogon przechodzi w cykloidę^[2].

Niech punkt ${\displaystyle z}$ będzie sztywno związany z toczącym się ${\displaystyle n}$-kątem. Wówczas kreśli on krzywą złożoną z ${\displaystyle n}$ łuków okręgów, zwaną trochogonem:

• epitrochogon – gdy wielokąt toczy się na zewnątrz,
• hipotrochogon – gdy toczy się wewnątrz^[2].

W zależności od położenia punktu:

• krzywa jest skrócona, gdy punkt leży wewnątrz wielokąta,
• wydłużona, gdy leży na zewnątrz^[2].

Jeżeli punkt jest wierzchołkiem wielokąta, otrzymujemy odpowiednio:

• epicyklogon,
• hipocyklogon^[2].

Niech:

• ${\displaystyle S}$ oznacza pole obszaru zawartego pomiędzy jednym łukiem cyklogonu a prostą,
• ${\displaystyle S_{1}}$ oznacza pole wielokąta toczącego się,
• ${\displaystyle S_{2}}$ oznacza pole koła opisanego na tym wielokącie.

Wówczas zachodzi zależność:

${\displaystyle S=S_{1}+2S_{2}}$^[3].

Rozważmy wielokąt foremny o ${\displaystyle n}$ bokach i długości boku ${\displaystyle a}$, toczący się bez poślizgu wzdłuż prostej. Niech ${\displaystyle R}$ oznacza promień okręgu opisanego na tym wielokącie, zaś ${\displaystyle O}$ – jego środek.

Podczas toczenia każdy wierzchołek wielokąta kreśli łuk okręgu o promieniu ${\displaystyle R}$. Jeden pełny „łuk” cyklogonu odpowiada jednemu pełnemu obrotowi wielokąta, czyli przejściu przez wszystkie jego ${\displaystyle n}$ wierzchołków.

Pole ${\displaystyle S}$ obszaru pod jednym łukiem cyklogonu można rozłożyć na sumę pól:

1. pola wielokąta ${\displaystyle S_{1}}$,
2. pól obszarów powstających podczas obrotu promienia ${\displaystyle R}$ wokół kolejnych punktów styczności.

W każdym kroku ruchu jeden bok wielokąta „odkłada się” na prostej, a odpowiadający mu wierzchołek zakreśla łuk okręgu o kącie środkowym równym kątowi zewnętrznemu wielokąta: ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$.

Suma pól wszystkich takich wycinków koła wynosi:

${\displaystyle n\cdot {\frac {1}{2}}R^{2}\cdot {\frac {2\pi }{n}}=\pi R^{2}}$.

Dodatkowo identyczna suma pól powstaje „po drugiej stronie” ruchu (co wynika z symetrii względem środka obrotu oraz faktu, że każdy obrót generuje dwa równoważne obszary związane z ruchem początku i końca boku).

Zatem łączna suma pól tych obszarów wynosi:

${\displaystyle 2\pi R^{2}}$.

Ponieważ ${\displaystyle S_{2}=\pi R^{2}}$ jest polem koła opisanego na wielokącie, otrzymujemy:

${\displaystyle 2\pi R^{2}=2S_{2}}$.

Uwzględniając pole wielokąta ${\displaystyle S_{1}}$, dostajemy ostatecznie:

${\displaystyle S=S_{1}+2S_{2}}$, q.e.d.