Dynamika budowli

Dynamika budowli zajmuje się obliczaniem konstrukcji budowlanych poddanych obciążeniom zmiennym w czasie^[1]. Obciążenia takie wywoływane są na przykład

• pracą maszyn w halach fabrycznych,
• ruchem drogowym na mostach i przejazdach,
• rytmicznymi ruchami tancerzy w salach balowych,
• odstrzałami eksploatacyjnymi w kopalniach,
• ruchami podłoża gruntowego w czasie trzęsień ziemi,
• uderzeniami fal tsunami.

Z punktu widzenia mechaniki, konstrukcje budowlane są układami o nieskończonej liczbie stopni swobody. Obliczanie takich modeli, zwłaszcza dla układów złożonych, prowadzi jednak do skomplikowanych układów równań różniczkowych cząstkowych. Z tego powodu, dla celów obliczeniowych stosuje się najczęściej prostsze modele o skończonej, ale czasem bardzo dużej, liczbie stopni swobody^[2]. Badanie ruchu takich modeli sprowadza się do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych o postaci

${\displaystyle M{\ddot {\vec {Q}}}(t)+C{\dot {\vec {Q}}}(t)+K{\vec {Q}}(t)={\vec {P}}(t)}$

(1)

gdzie dla przyjętego modelu o n stopniach swobody

${\displaystyle M(n\times n)}$ – macierz bezwładności mas,

${\displaystyle C(n\times n)}$ – macierz tłumienia,

${\displaystyle K(n\times n)}$ – macierz sztywności,

${\displaystyle {\vec {Q}}(n\times 1)}$ – wektor przemieszczeń (forma drgania),

${\displaystyle {\vec {P}}(n\times 1)}$ – wektor sił zewnętrznych (wymuszających).

Elementy ${\displaystyle m_{ij},c_{ij},k_{ij}}$ macierzy ${\displaystyle M,C,K}$ są reakcjami ${\displaystyle i}$-tego więzu kinematycznego odpowiednio na jednostkowe przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie ${\displaystyle j}$-tego więzu. Macierze ${\displaystyle M,K}$ są symetryczne.

Obliczanie elementów macierzy ${\displaystyle M,C,K}$ stanowi trudny problem, który dzisiaj najczęściej rozwiązuje się za pomocą metody elementów skończonych^[3]. Jej podstawę stanowi teoria aproksymacji pozwalająca w sposób przybliżony opisać stan przemieszczenia układu za pomocą odpowiednich wielomianów. Są one budowane jako funkcje skończonej liczby przemieszczeń ${\displaystyle Q_{j}(t),\;j=1,2,\dots ,n}$ występujących w wyróżnionych punktach węzłowych konstrukcji. Jeżeli jest ona układem prętowym, to węzły są punktami połączeń poszczególnych prętów. W konstrukcjach płytowych, tarczowych i powłokowych o ciągłym rozkładzie masy, węzły są punktami fikcyjnymi, rozmieszczonymi w odpowiedni sposób na powierzchni środkowej.

Ważną charakterystyką dynamiczną układu drgającego o n stopniach swobody jest jego widmo częstości drgań własnych

${\displaystyle \Omega =(\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\omega _{n})\qquad \omega _{1}\leqslant \omega _{2}\leqslant \ \dots \ \leqslant \omega _{n}.}$

Częstości te obliczane są na podstawie równania opisującego drgania swobodne (nietłumione) badanego układu

${\displaystyle M{\ddot {\vec {Q}}}(t)+K{\vec {Q}}(t)=0.}$

Równanie to ma niezerowe rozwiązania

${\displaystyle {\vec {Q}}_{i}(t)={\vec {A}}_{i}\sin {\omega _{i}t}\quad {\mbox{dla}}\quad i=1,2,\dots ,n}$

wtedy, gdy spełniony jest warunek

${\displaystyle (-\omega _{i}^{2}M+K){\vec {A}}_{i}=0\quad i=1,2,\dots ,n.}$

(2)

Na to jednak aby istniały ${\displaystyle {\vec {A}}_{i}\neq 0\;{\mbox{ dla }}\;i=1,2,\dots ,n}$ musi zostać spełnione równanie

${\displaystyle Det\ (K-\omega _{i}^{2}M)=0,}$

służące do wyznaczania częstości ${\displaystyle \omega _{i}}$ drgań własnych układu.

Na podstawie znanych już wartości ${\displaystyle \omega _{i}}$ oblicza się formy drgań własnych ${\displaystyle {\vec {A}}_{i}}$ z równania (2). Dla dowolnych ${\displaystyle (\omega _{i},{\vec {A}}_{i}){\mbox{ i }}(\omega _{k},{\vec {A}}_{k})}$ możemy wtedy napisać następujące tożsamości

${\displaystyle \omega _{i}^{2}{\vec {A}}_{k}^{T}M{\vec {A}}_{i}\equiv {\vec {A}}_{k}^{T}K{\vec {A}}_{i},\qquad \omega _{k}^{2}{\vec {A}}_{i}^{T}M{\vec {A}}_{k}\equiv {\vec {A}}_{i}^{T}K{\vec {A}}_{k}.}$

Po dokonaniu transpozycji w drugiej tożsamości, uwzględnieniu, że ${\displaystyle M^{T}\!=M\;{\mbox{oraz}}\;K^{T}\!=K,}$ po odjęciu stronami i przyjęciu, że ${\displaystyle \omega _{i}\neq \omega _{k},}$ otrzymujemy warunek wzajemnej ortogonalności form drgań własnych

${\displaystyle {\vec {A}}_{i}^{T}M{\vec {A}}_{k}=0\qquad {\mbox{dla}}\qquad i\neq k.}$

Wyznaczenie wszystkich par ${\displaystyle (\omega _{i},{\vec {A}}_{i})\;{\mbox{ dla }}\;i=1,2,\dots ,n}$ nosi nazwę analizy modalnej.

Przy projektowaniu konstrukcji poddanych obciążeniom harmonicznym o postaci ${\displaystyle {\vec {P}}(t)={\vec {F}}\sin \theta t}$ najważniejsze znaczenie ma zazwyczaj znajomość dolnego odcinka widma, gdyż drgania o najniższych częstościach wywołać jest najłatwiej. W przypadku, gdy ${\displaystyle \theta \sim \omega _{i},}$ powstaje zjawisko rezonansu na częstości ${\displaystyle \omega _{i}}$ objawiające się nadmiernymi przemieszczeniami konstrukcji. Można go uniknąć zmieniając jej widmo dzięki przeprojektowaniu.

Gdy działające obciążenie zewnętrzne ${\displaystyle {\vec {P}}(t)}$ jest dowolną funkcją czasu, równanie ruchu (1) poddaje się numerycznemu całkowaniu, aby otrzymać odpowiedź ${\displaystyle {\vec {Q}}(t).}$ Do tego celu opracowano szereg programów komputerowych.