Ekstensor

Ekstensor – przestrzeń metryczna X spełniająca warunek:

${\displaystyle \forall _{Y}\forall _{B\subset Y,B-domk.}\forall _{f\colon B\to X}\exists _{g\colon Y\to X}\quad g|_{B}=f.}$

Słownie: ${\displaystyle X}$ ma własność przedłużania odwozorowań. Dokładniej: każde odwzorowanie ciągłe o wartościach w ${\displaystyle X,}$ które jest zadane na domkniętym podzbiorze pewnej przestrzeni metrycznej, można przedłużyć na całą przestrzeń. Fakt, że przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest ekstensorem, będziemy zapisywać jako ${\displaystyle X\in ES.}$

Uwaga: rozpatrujemy ekstensory w kategorii przestrzeni metrycznych (rozumianej tu jako podkategoria kategorii Top przestrzeni topologicznych z przekształceniami ciągłymi).

Uwaga: ES(metr) = AR(metr), tzn. klasa ekstensorów metrycznych pokrywa się z klasą absolutnych retraktów metrycznych wprowadzonych przez K. Borsuka.

Twierdzenie Zachodzą następujące warunki:

a) ${\displaystyle X\in ES\quad \wedge \quad Z\approx X\quad {}}$ (homeomorfizm) ${\displaystyle {}\quad \Rightarrow \quad Z\in ES,}$

b} ${\displaystyle X\in ES\quad \wedge \quad A-retrakt\quad {}}$ (retrakt) ${\displaystyle {}\quad X\quad \Rightarrow \quad A\in ES,}$

c) ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in ES\quad \Rightarrow \quad X_{1}\times X_{2}\in ES.}$

1. (pozytywny) Podzbiór wypukły ${\displaystyle W}$ przestrzeni unormowanej ${\displaystyle E}$ jest ekstensorem.

Uzasadnienie: Weźmy dowolną przestrzeń ${\displaystyle Y,}$ jej podzbiór domknięty ${\displaystyle B}$ oraz przekształcenie ${\displaystyle f\colon B\to W.}$

Na mocy twierdzenia Dugundji (uogólnienia twierdzenia Tietzego na przypadek przestrzeni unormowanej zamiast euklidesowej w przeciwdziedzinie) dla ${\displaystyle f}$ istnieje przedłużenie ${\displaystyle g\colon Y\to E}$ o tej własności, że ${\displaystyle g(Y)\subset convf(B)\subset convW=W.}$ Zadając ${\displaystyle f_{1}\colon Y\to W}$ wzorem ${\displaystyle f_{1}(y)=g(y)}$ (zawężamy dziedzinę), uzyskujemy szukane przedłużenie.

2. (negatywny) Przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}$ nie jest ekstensorem.

Uzasadnienie: Przyjmijmy ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ,B=\{0,1\}}$ – podzbiór domknięty ${\displaystyle Y}$ i weźmy ${\displaystyle f\colon \{0,1\}\to \mathbb {R} \backslash \{0\}}$ dane jako ${\displaystyle \mathbb {} f(0)=-3,f(1)=3.}$ Funkcji tej nie da się przedłużyć do ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \backslash \{0\},}$ gdyż przedłużenie musiałoby mieć własność Darboux, a w szczególności zajść by musiało ${\displaystyle 0\in (-3,3)\quad 0\in g(\mathbb {R} )\subset \mathbb {R} \backslash \{0\},}$ co jest niemożliwe.

• J. Dugundji, A. Granas, Fixed Point Theory.
• L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków.

• Absolute neighbourhood extensor (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].