Funkcja wypłat

Funkcja wypłat – pojęcie z zakresu teorii gier stosowane do opisu m.in. gier o postaci normalnej. Dla danych strategii czystych określa jaką wypłatę przyniesie ich zastosowanie.

Niech ${\displaystyle \langle N,A,(u_{i})_{i\in N}\rangle }$ będzie grą.

Funkcją wypłat nazywamy funkcję ${\displaystyle u\colon A\to \mathbb {R} ^{N}}$ która danemu profilowi strategii czystych przyporządkowuje pewną N-tkę liczb rzeczywistych, gdzie kolejne współrzędne są wypłatami kolejnych graczy. Równoważnie: ${\displaystyle u(a)=(u_{1}(a),\dots ,u_{N}(a)),a\in A.}$

Macierz wypłat to wygodny sposób zapisu wypłat stosowany w grach o postaci normalnej.

Macierz wypłat to szczególny przypadek funkcji wypłat. Stosuje się go zwykle dla gier o liczbie graczy nie większej niż 3 (ze względu na komplikację przy większej ilości graczy). Poniżej podano wyraz ogólny macierzy dla gry dwuosobowej, przy danej funkcji wypłat. Jest to para uporządkowana w której pierwsza (odpowiednio: druga) współrzędna oznacza wypłatę gracza pierwszego (drugiego).

${\displaystyle a_{ij}=(u_{1}(1_{i},1_{j}),u_{2}(1_{i},1_{j})),}$ gdzie ${\displaystyle u_{i}}$ wartość funkcji wypłat, a ${\displaystyle 1_{i}}$ i-tą strategię czystą.

Oznaczmy tę macierz przez ${\displaystyle W,}$ a przez ${\displaystyle W^{k}}$ oznaczmy macierz o następujących wyrazach: ${\displaystyle w_{i,j}^{k}=u_{k}(1_{i},1_{j})}$ gdzie k = 1,2. Zatem ${\displaystyle W^{k}}$ oznacza macierz wypłat gracza k-tego.