Iloczyny Arensa

Iloczyny Arensa – dla danej algebry Banacha ${\displaystyle A,}$ dwa naturalne rozszerzenia działania mnożenia w ${\displaystyle A}$ do drugiej przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle A^{**}}$ (algebra ${\displaystyle A}$ utożsamiana jest ze swoim kanonicznym obrazem w ${\displaystyle A^{**}}$). Pojęcie wprowadzone przez R. Arensa w 1951 roku^[1].

Niech ${\displaystyle A}$ będzie algebrą Banacha, ${\displaystyle a,b\in A;\ \lambda \in A^{*}}$ oraz ${\displaystyle \Phi \in A^{**}.}$ Niech ponadto:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}a\cdot \lambda &\colon &b\mapsto \langle \lambda ,ba\rangle ,\\\lambda \cdot a&\colon &b\mapsto \langle \lambda ,ab\rangle ,\\\lambda \cdot \Phi &\colon &b\mapsto \langle \Phi ,b\cdot \lambda \rangle ,\\\Phi \cdot \lambda &\colon &b\mapsto \langle \Phi ,\lambda \cdot b\rangle .\end{array}}}$

Wówczas ${\displaystyle a\cdot \lambda ,\ \lambda \cdot a,\ \lambda \cdot \Phi ,\ \Phi \cdot \lambda \in A^{*}.}$ Działania dane wzorami:

${\displaystyle \langle \Phi \,{\scriptstyle \square }\,\Psi ,\lambda \rangle =\langle \Phi ,\Psi \cdot \lambda \rangle ,}$

${\displaystyle \langle \Phi \diamond \Psi ,\lambda \rangle =\langle \Phi ,\lambda \cdot \Psi \rangle \;\;\;(\Phi ,\Psi \in A^{**},\lambda \in A^{*}).}$

nazywane są, odpowiednio, pierwszym i drugim iloczynem Arensa. Przestrzeń ${\displaystyle A^{**}}$ z każdym z tych działań jest algebrą Banacha. Algebra Banacha nazywana jest regularną w sensie Arensa, gdy obydwa te działania w ${\displaystyle A^{**}}$ pokrywają się.

• Każda C*-algebra ${\displaystyle C}$ z jedynką jest regularna w sensie Aresna. Jeżeli ${\displaystyle \pi ,}$ jest jej reprezentacją uniwersalną ${\displaystyle C}$ na pewnej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H,}$ to ${\displaystyle A^{**}}$ może być utożsamiona z drugim komutantem ${\displaystyle \pi (A).}$
• Podalgebry oraz algebry ilorazowe algebr regularnych w sensie Arensa są regularne w sensie Arensa.
• Algebra Banacha ℓ₁ (z mnożeniem splotowym) nie jest regularna w sensie Aresna.

• H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 47–69.