Metoda delta

W statystyce metoda delta służy do wyznaczania asymptotycznych rozkładów zmiennych losowych.

Niech ${\displaystyle X_{n}}$ będzie ciągiem zmiennych losowych spełniających

${\textstyle {\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}),}$

gdzie ${\displaystyle \theta }$ i ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ są skończonymi stałymi, a ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ oznacza rozkład normalny o wartości oczekiwanej 0 i wariancji ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Niech ponadto ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ będzie funkcją różniczkowalną w sposób ciągły. Wówczas

${\textstyle {\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,[g'(\theta )^{2}]\cdot \sigma ^{2}).}$

Z rozwinięcia Taylora wynika równość

${\textstyle g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta )}$

dla pewnego ${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$ pomiędzy ${\displaystyle X_{n}}$i ${\displaystyle \theta }$. Po przekształceniu równość ta przyjmuje postać

${\displaystyle {\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]=g'({\tilde {\theta }}){\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ).}$

Ponieważ ${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p} \theta }$, więc również ${\displaystyle {\tilde {\theta }}\xrightarrow {p} \theta }$, a zatem na mocy twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym, ${\displaystyle g'({\tilde {\theta }})\xrightarrow {p} g'(\theta )}$.

Z założenia ${\displaystyle {\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$, więc z twierdzenia Słuckiego

${\displaystyle {\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,[g'(\theta )^{2}]\cdot \sigma ^{2}).}$