Model ARCH

Ten artykuł od 2026-04 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.

Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach: Google Books • Google Scholar • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Model ARCH (ang. Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, model autoregresji z heteroskedastycznością warunkową) – model ekonometryczny służący do analizy szeregów czasowych. Stosuje się go głównie w analizie finansowej zmienności cen instrumentów finansowych.

W modelu ARCH zakłada się, że wariancja błędu losowego w danym okresie jest funkcją wartości błędów losowych w okresach poprzednich.

Model ARCH został po raz pierwszy zaproponowany w 1982 roku przez amerykańskiego ekonomistę, Roberta Engle’a, za co został on uhonorowany w 2003 roku Nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii.

Model ARCH rzędu p, co zapisuje się zazwyczaj jako ARCH(p), zdefiniowany został przez Engle’a przy pomocy następujących dwóch zależności:

1. ${\displaystyle y_{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,h_{t}),}$
2. ${\displaystyle h_{t}=h(y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p},\alpha ).}$

Z równań tych wynika, że zmienna losowa ${\displaystyle y_{t}}$ ma wartość oczekiwaną równą zero, oraz wariancję, która zależy od realizacji zmiennych losowych y w p poprzednich okresach. We współczesnych zastosowaniach najczęściej zakłada się, że funkcja ${\displaystyle h_{t}=h(y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p},\alpha )}$ ma postać:

${\displaystyle h_{t}=\alpha _{0}+\alpha _{1}y_{t-1}^{2}+\ldots +\alpha _{p}y_{t-p}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}y_{t-i}^{2}}$ gdzie ${\displaystyle \alpha _{0}>0}$ oraz ${\displaystyle \alpha _{i}\geqslant 0,~i>0.}$

Przykładowo model ARCH(1) można zapisać jako:

1. ${\displaystyle y_{t}=\epsilon _{t}h_{t}^{1/2},}$
2. ${\displaystyle h_{t}=\alpha _{0}+\alpha _{1}y_{t-1}^{2}}$ gdzie ${\displaystyle \epsilon _{t}\sim {\mathcal {N}}(0,1).}$

Model ARCH można uogólnić na model GARCH (skrót od ang. Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, uogólniony ARCH), w którym dodatkowo wprowadza się bezpośrednią zależność od poprzednich wartości ${\displaystyle h_{t}.}$ Model GARCH(p,q) opisuje się szeregiem

${\displaystyle h_{t}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}y_{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}h_{t-i}}$ gdzie ${\displaystyle \alpha _{0}>0}$ i ${\displaystyle \alpha _{i}\geqslant 0,~i>0,}$ oraz ${\displaystyle \beta _{i}\geqslant 0}$

(niektóre źródła definiują model i stosują konwencję z zamienionymi miejscami indeksami p i q).

Czasami znosi się ograniczenie na współczynniki ${\displaystyle \beta _{i},}$ ale wprowadza to problem w postaci możliwych ujemnych wartości ${\displaystyle h_{t},}$ co nie jest w pełni sensowne.

W 1986 roku Tim Bollerslev(inne języki) opublikował artykuł, w którym wprowadził uogólniony model ARCH (generalized ARCH, GARCH), wzorując się na relacji między modelami AR i ARMA. Model ten okazał się bardziej przydatny w praktyce niż wcześniejszy ARCH ze względu na to, że procesy finansowe wymagają dużych rzędów opóźnień dla prawidłowego modelowania; estymacja parametrów modelu ARCH prowadziła do załamania założeń o nieujemności wariancji warunkowej; model GARCH lepiej niż ARCH dostosowuje się do opisu rozkładów o grubych ogonach.

Model GARCH stosuje się najczęściej wtedy, gdy liczba opóźnień w modelu ARCH jest zbyt duża, a także wówczas, gdy kryteria doboru modeli (np. Schwarza), wskazują na przewagę modelu GARCH nad ARCH.

• heteroskedastyczność

• Robert F. Engle. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. „Econometrica”. 50 (4), s. 987–1007, 1982.