Model Markowitza

Model Markowitza (model średniej-wariancji) – został zaproponowany przez Harry’ego M. Markowitza w 1952 roku w artykule Portfolio Selection^[1]. Sformułowanie problemu jest następujące: inwestor, konstruując swój portfel, chciałby jednocześnie zwiększać zysk i zmniejszać ryzyko z tym portfelem związane – w tym celu powinien jednak uwzględnić różnego rodzaju powiązania między spółkami, w które inwestuje. Markowitz w jednej ze swoich książek pisze:

W swoim modelu Markowitz podaje propozycję rozwiązania problemu dywersyfikacji ryzyka inwestycyjnego: minimalizacja ryzyka (wyrażonego poprzez wariancję) przy ustalonym z góry poziomie zysku (wyrażonego przez wartość oczekiwaną), jaki chce osiągnąć inwestor. Model Markowitza jest także nazywany modelem średniej-wariancji (ang. Mean-Variance Model).

• ${\displaystyle x=[x_{1},\dots ,x_{n}]^{T}{:}}$ strategia inwestycyjna, albo inaczej portfel, ${\displaystyle x_{i}}$ dla ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ to udział kapitału, jaki został przeznaczony na inwestycję w spółkę giełdową ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle R=\sum _{i=1}^{n}x_{i}R_{i}{:}}$ ${\displaystyle n}$-wymiarowa Zmienna losowa przyszłych zwrotów z akcji spółek giełdowych
• ${\displaystyle \mu {:}}$ wektor wartości średnich zmiennej ${\displaystyle R,}$ gdzie ${\displaystyle \mu _{i}=\mathbb {E} (R_{i})}$
• ${\displaystyle E(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mu _{i}=x^{T}\mu {:}}$ wartość oczekiwana zwrotu z portfela to ${\displaystyle E=\mathbb {E} (R)}$
• ${\displaystyle \sigma _{ij}=\mathbb {E} [(R_{i}-\mu _{i})(R_{j}-\mu _{j})]}$ to kowariancja ${\displaystyle R_{i}}$ oraz ${\displaystyle R_{j}}$ (dla ${\displaystyle 1\leqslant i\neq j\leqslant n}$), gdzie ${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j};}$ przez ${\displaystyle \rho _{ij}={\textrm {corr}}(R_{i},R_{j})}$ oznaczamy współczynnik korelacji Pearsona, zaś ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=Var(R_{i})}$ oraz ${\displaystyle \sigma _{j}^{2}=Var(R_{j})}$
• ${\displaystyle \sigma ^{2}(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}=x^{T}\Sigma x{:}}$ wariancja zwrotu z portfela; w szczególności ${\displaystyle \sigma _{ii}=\mathbb {E} (R_{i}-\mu _{i})^{2}=\sigma _{i}^{2}=Var(R_{i})}$
• ${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{array}{c}\sigma _{11}&\cdots &\sigma _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n1}&\cdots &\sigma _{nn}\end{array}}\right]{:}}$ macierz kowariancji zmiennej ${\displaystyle R;}$ jest to macierz nieujemnie określona i symetryczna.

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=1}$ – udziały w portfelu sumują się do 1; inwestujemy 100% kapitału
• ${\displaystyle x_{i}\geqslant 0}$ dla ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ – zakaz krótkiej sprzedaży

Przy podanych wcześniej założeniach modelu należy zminimalizować ryzyko ${\displaystyle \sigma ^{2}=x^{T}\Sigma x}$ przy ustalonym poziomie zysku ${\displaystyle E.}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x^{T}\Sigma x~\to min\\x^{T}\mu =E\\\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}=1\\x_{1},\dots ,x_{n}\geqslant 0\end{array}}\right..}$

Tak postawiony problem rozwiązuje się, korzystając z metody Karusha-Kuhna-Tuckera.

W modelu Blacka, przy pominięciu zakazu krótkiej sprzedaży, oraz dodaniu założenia ${\displaystyle \mu \not \parallel [1,\dots ,1]^{T}}$ oraz założenia o dodatniej określoności macierzy ${\displaystyle \Sigma ,}$ otrzymuje się dokładnie jeden portfel ${\displaystyle x,}$ zależący od ${\displaystyle E}$ w sposób afiniczny. Oznacza to, że przy zmieniającym się ${\displaystyle E}$ zbiór rozwiązań ${\displaystyle x}$ tworzy prostą, nazywaną prostą krytyczną. Prosta ta może (ale nie musi) przecinać zbiór portfeli dopuszczalnych w sensie Markowitza (tj. spełniających założenia modelu Markowitza).

${\displaystyle x=\Sigma ^{-1}(\lambda _{1}\mu +\lambda _{2}[1,\dots ,1]^{T}),}$ gdzie

• ${\displaystyle \alpha =\mu ^{T}\Sigma ^{-1}\mu ,}$
• ${\displaystyle \beta =[1,\dots ,1]\Sigma ^{-1}\mu ,}$
• ${\displaystyle \gamma =[1,\dots ,1]\Sigma ^{-1}[1,\dots ,1]^{T},}$
• ${\displaystyle \lambda _{1}={\dfrac {\left|{\begin{array}{c}E&\beta \\1&\gamma \end{array}}\right|}{\alpha \gamma -\beta ^{2}}}}$ oraz ${\displaystyle \lambda _{2}={\dfrac {\left|{\begin{array}{c}\alpha &E\\\beta &1\end{array}}\right|}{\alpha \gamma -\beta ^{2}}}}$

Przekształcenie ${\displaystyle x\to (\sigma ^{2}(x),E(x))}$ przypisuje portfelowi jego ryzyko i zwrot. Z wszystkich portfeli o danym ryzyku ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ dla inwestora najlepszy jest ten, który ma największe ${\displaystyle E.}$ Obrazy portfeli o tej własności to zbiór lewych końców przecięcia obrazu zbioru portfeli dopuszczalnych na płaszczyźnie ${\displaystyle (\sigma ^{2},E)}$ z prostymi ${\displaystyle E=const.}$ Zbiór ten określa się pojęciem granicy minimalnej. Podzbiór tego zbioru, składający się z punktów, dla których nie istnieje portfel dopuszczalny ${\displaystyle x}$ o nie mniejszej ${\displaystyle E}$ i mniejszym ${\displaystyle \sigma ,}$ ani portfel o większej ${\displaystyle E}$ i nie większym ${\displaystyle \sigma ,}$ nosi nazwę granicy efektywnej. Portfele odpowiadające punktom granicy efektywnej to portfele efektywne.

Minimalizacja wariancji ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ jest równoważna minimalizacji odchylenia standardowego ${\displaystyle \sigma .}$ Z tego powodu rozwiązanie problemu nie zmienia się, niezależnie, czy rozpatruje się portfele i ich obrazy w przekształceniu ${\displaystyle x\to (x^{T}\Sigma x,x^{T}\mu )=(\sigma ^{2}(x),E(x)),}$ czy też w przekształceniu ${\displaystyle x\to ({\sqrt {x^{T}\Sigma x}},x^{T}\mu )=(\sigma (x),E(x))}$

Niech ${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{array}{c}9&3&1\\3&2&2\\1&2&4\end{array}}\right]}$ oraz ${\displaystyle \mu =[5,4,2]^{T}.}$ Założenia: ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant 0}$ oraz ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=1.}$ Zmienną ${\displaystyle x_{3}}$ można zatem zastąpić przez ${\displaystyle 1-x_{1}-x_{2}.}$ Zbiór portfeli dopuszczalnych został przedstawiony na rysunku (jest to niebieski symplex). Przekształcenie przypisujące portfelowi ${\displaystyle x=[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}=[x_{1},x_{2},1-x_{1}-x_{2}]^{T}}$ jego średnią i odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji) to ${\displaystyle x\to ({\sqrt {x^{T}\Sigma x}},x^{T}\mu )=(4-6x_{1}+11x_{1}^{2}-4x_{2}+8x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2},2+3x_{1}+2x_{2})=(\sigma (x),E(x)).}$ Prosta krytyczna w postaci parametrycznej to ${\displaystyle \left({\frac {1}{7}}(2-E),{\frac {5}{7}}(E-2),{\frac {1}{7}}(15-4E)\right).}$ Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkty wspólne prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie ${\displaystyle (\sigma ,E)}$ krzywe zaznaczone kolorem różowym i niebieskim oraz wszystkie wyróżnione punktu, tworzą granicę minimalną, przy czym krzywa zaznaczona na różowo, włącznie z punktami ${\displaystyle ({\sqrt {2}},4),}$ ${\displaystyle (3,5)}$ tworzą granicę efektywną.

Niech ${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{array}{c}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]}$ oraz ${\displaystyle \mu =[4,3,1]^{T}.}$ Założenia: ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant 0}$ oraz ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=1.}$ Zmienną ${\displaystyle x_{3}}$ można zatem zastąpić przez ${\displaystyle 1-x_{1}-x_{2}.}$ Zbiór portfeli dopuszczalnych (tj. spełniających założenia modelu) został przedstawiony na rysunku (jest to niebieski symplex). Przekształcenie przypisujące portfelowi ${\displaystyle x=[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}=[x_{1},x_{2},1-x_{1}-x_{2}]^{T}}$ jego średnią i odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji) to ${\displaystyle x\to ({\sqrt {x^{T}\Sigma x}},x^{T}\mu )=(4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+(-1+x_{1}+x_{2})^{2},1+3x_{1}+2x_{2})=(\sigma (x),E(x)).}$ Prosta krytyczna w postaci parametrycznej to ${\displaystyle \left({\frac {1}{13}}(2E-3),{\frac {1}{26}}(7E-4),{\frac {1}{26}}(36-11E)\right).}$ Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkty wspólne prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie ${\displaystyle \left(\sigma ,E\right)}$ punkty ${\displaystyle (1,1),}$ ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {10}}{4}},{\frac {3}{2}}\right)}$ i fragment niebieskiej krzywej między nimi, czerwona krzywa, punkty ${\displaystyle \left({\frac {10}{11}},{\frac {36}{11}}\right),}$ ${\displaystyle (2,4)}$ i fragment różowej krzywej zawarty między nimi, tworzą granicę minimalną, zaś jej fragment zawarty między punktami ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}},{\frac {20}{9}}\right)}$ tworzy granicę efektywną.

Niech ${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{array}{c}4&2&6\\2&1&3\\6&3&9\end{array}}\right]}$ (tzn. ${\displaystyle \sigma _{1}=2,}$ ${\displaystyle \sigma _{2}=1,}$ ${\displaystyle \sigma _{3}=3,}$ zaś ${\displaystyle \rho _{ij}=1}$ dla ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$) oraz ${\displaystyle \mu =[1,2,3]^{T}.}$ Granica efektywna składa się z odcinków: różowego i niebieskiego, łącznie z końcami. Granica minimalna to odcinek różowy, z końcami włącznie.

Niech ${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{array}{c}1&-2&-1\\-2&4&2\\-1&2&1\end{array}}\right]}$ (tzn. ${\displaystyle \sigma _{1}=2,}$ ${\displaystyle \sigma _{2}=1,}$ ${\displaystyle \sigma _{3}=3,}$ zaś ${\displaystyle \rho _{12}=\rho _{21}=\rho _{13}=\rho _{31}=-1,}$ ${\displaystyle \rho _{23}=1}$) oraz ${\displaystyle \mu =[1,2,3]^{T}.}$ Granica efektywna to łamana o wierzchołkach: ${\displaystyle (1,1),}$ ${\displaystyle \left(0,{\frac {4}{3}}\right),}$ ${\displaystyle (0,2),}$ ${\displaystyle (1,3).}$ Granica minimalna to odcinek o końcach ${\displaystyle (0,2)}$ i ${\displaystyle (1,3).}$