Operator Hilberta-Schmidta

Operator ${\displaystyle A}$ nazywamy operatorem Hilberta-Schmidta, jeśli jest on ograniczony na przestrzeni Hilberta oraz dla pewnej bazy ortonormalnej ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ zachodzi:

${\displaystyle \operatorname {tr} |A|^{2}=\sum _{n}\|Aa_{n}\|^{2}<\infty ,}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {tr} A}$ jest śladem operatora ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \|A\|}$ normą ${\displaystyle A,}$ a ${\displaystyle |A|={\sqrt {A^{\star }A}}.}$

Wielkość ${\displaystyle \operatorname {tr} |A|^{2}}$ jest kwadratem tzw. normy Hilberta-Schmidta, oznaczanej jako ${\displaystyle \|A\|_{HS}.}$ Zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta na przestrzeni ${\displaystyle H}$ zapisuje się jako ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{HS}(H).}$

• Norma Hilberta-Schmidta jest normą.
• Przestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{HS}(H)}$ jest przestrzenią Banacha.
• ${\displaystyle \|A\|_{HS}=\|A^{\star }\|_{HS}.}$
• ${\displaystyle \|\alpha A\|_{HS}=|\alpha |\|A\|_{HS}.}$
• ${\displaystyle \|A+B\|_{HS}\leqslant \|A\|_{HS}+\|B\|_{HS}.}$
• ${\displaystyle \|A\|\leqslant \|A\|_{HS}.}$
• ${\displaystyle A}$ jest operatorem ograniczonym i ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{HS}(H),}$ to ${\displaystyle \|AB\|_{HS}\leqslant \|A\|\|B\|_{HS}}$ i ${\displaystyle \|AB\|_{HS}\leqslant \|A\|\|B\|_{HS}.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{HS}(H)}$ z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} A^{\star }B}$ jest przestrzenią Hilberta.
• Jeśli ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}_{HS},}$ to A jest operatorem zwartym na ${\displaystyle H.}$

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń Hilberta
• operator zwarty

• E. Prugovecki: Quantum Mechanics in Hilbert Space. New York: Academic-Press, 1983.