Operator normalny

Operator normalny – operator liniowy i ograniczony ${\displaystyle N\colon H\to H}$ na przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H,}$ który komutuje ze swoim sprzężeniem ${\displaystyle N^{*},}$ tj.

${\displaystyle NN^{*}=N^{*}N.}$

Analogicznie pojęcie elementu normalnego wprowadza się w kontekście *-algebr (w szczególności, C*-algebr) – element a *-algebry A nazywa się normalnym, gdy

${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a.}$

Operatory normalne opisuje twierdzenie spektralne. Operator ograniczony ${\displaystyle T}$ jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|\;\;(x\in H).}$

Innym warunkiem równoważnym normalności jest równość

${\displaystyle \langle T^{*}x,T^{*}y\rangle =\langle Tx,Ty\rangle \;\;(x,y\in H).}$

Operator sprzężony do operatora normalnego jest również normalny: ${\displaystyle N}$ oraz ${\displaystyle N^{\star }}$ mają to samo jądro i obraz. Wynika stąd, że obraz ${\displaystyle N}$ jest gęsty w ${\displaystyle H}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle N}$ jest iniektywny. Poza tym

${\displaystyle \|N^{2}\|=\|N\|^{2}}$

oraz

${\displaystyle \nu (N)=\|N\|,}$

gdzie ${\displaystyle \nu (N)}$ oznacza promień spektralny operatora ${\displaystyle N.}$

Przykładami operatorów normalnych są:

• operatory unitarne ${\displaystyle (N^{*}=N^{-1}),}$
• operator samosprzężony ${\displaystyle (N^{*}=N),}$
• operatory dodatnie ${\displaystyle (N=MM^{*}),}$
• operatory rzutu ortogonalnego ${\displaystyle (N=N^{*}=N^{2}),}$
• macierze normalne mogą być postrzegane jako operatory normalne na ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

• operator podnormalny
• operator quasi-normalny