Polilogarytm

Polilogarytm (funkcja Jonquière’a) – funkcja specjalna zdefiniowana w następujący sposób:

${\displaystyle \mathrm {Li} _{\nu }(z)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{\nu }}}}$^[1].

Szereg ten jest zbieżny dla ${\displaystyle |z|<1}$ i dowolnego zespolonego ${\displaystyle \nu .}$ Z tego względu ${\displaystyle z=1}$ to punkt osobliwy dla każdego ${\displaystyle \mathrm {Li} _{\nu }(z).}$

Można także zdefiniować polilogarytm w sposób rekurencyjny:

${\displaystyle \mathrm {Li} _{1}(z)=-\ln {(1-z)},}$

${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)=\int \limits _{0}^{z}{\frac {\mathrm {Li} _{n-1}(t)}{t}}\,dt}$

dla ${\displaystyle n=2,3,4,\dots }$

Uogólnieniem funkcji jest funkcja przestępna Lercha (ang. Lerch transcendent)^[1][2].

Wykresy ${\displaystyle \mathrm {Li} _{\nu }(z)}$ na płaszczyźnie zespolonej

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}$

Wykresy funkcji zespolonej uzyskane techniką kolorowania dziedziny

• ${\displaystyle \mathrm {Li} _{1}(z)=-\ln {(1-z)}}$
• ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)+\mathrm {Li} _{2}(1-z)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln z\ln {(1-z)}}$
• ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x^{2})=2\left[\mathrm {Li} _{2}(x)+\mathrm {Li} _{2}(-x)\right]}$
• ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(-1/x)+\mathrm {Li} _{2}(-x)=-{\frac {1}{6}}\pi ^{2}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}}$
• Redukcja do funkcji ζ Riemanna:

  ${\displaystyle \mathrm {Li} _{\nu }(1)=\zeta (\nu )}$

• Redukcja do funkcji η Dirichleta:

${\displaystyle \mathrm {Li} _{\nu }(-1)=-\eta (\nu )}$

• Relacje z funkcja przestępną Lercha (ang. Lerch transcendent)^[2]:

${\displaystyle Li_{n}(z)=z\Phi (z,n,1)}$