Program Langlandsa

Program Langlandsa – rozległy zbiór hipotez, konstrukcji i wyników w matematyce, łączących teorię liczb, teorię reprezentacji, formy automorficzne, funkcje L oraz geometrię algebraiczną. Został zapoczątkowany przez kanadyjskiego matematyka Roberta Langlandsa w 1967 roku w liście do André Weila, a następnie rozwinięty w jego pracach dotyczących form automorficznych i reprezentacji grup reduktywnych^[1][2].

W podstawowym ujęciu program przewiduje głębokie związki między reprezentacjami grup Galois a reprezentacjami automorficznymi grup algebraicznych, wyrażane często przez zgodność odpowiednich funkcji L^[3]. Można go traktować jako daleko idące uogólnienie klasycznych praw wzajemności, zwłaszcza prawa wzajemności Artina, na przypadki nieabelowe.

Punktem wyjścia programu była teoria ciał klas, opisująca abelowe rozszerzenia ciał liczbowych. W jej języku jednowymiarowe reprezentacje abelowych grup Galois odpowiadają pewnym funkcjom L. Langlands zaproponował uogólnienie tej zależności na reprezentacje wyższych wymiarów i sytuacje nieabelowe^[3].

Do matematycznego tła programu należały m.in. prace Ericha Heckeego nad funkcjami L i formami automorficznymi, teoria reprezentacji grup Liego rozwijana przez Harish-Chandrę, idee Izraila Gelfanda dotyczące form automorficznych oraz wzór śladu Selberga^[4][5].

Program Langlandsa łączy dwie klasy obiektów. Po stronie arytmetycznej występują m.in. rozszerzenia ciał liczbowych, grupy Galois i ich reprezentacje. Po stronie analityczno-reprezentacyjnej pojawiają się formy automorficzne, reprezentacje automorficzne i związane z nimi funkcje L^[3].

Zgodnie z przewidywaniami programu odpowiednio dobrane funkcje L po obu stronach tej korespondencji powinny być zgodne. Pozwala to przenosić pytania arytmetyczne na język analizy harmonicznej i teorii reprezentacji.

Hipotezy Langlandsa formułuje się w dwóch głównych ujęciach:

• lokalnym, dotyczącym reprezentacji grup reduktywnych nad ciałami lokalnymi, w tym nad ciałami rzeczywistymi, zespolonymi i p-adycznymi;
• globalnym, dotyczącym form automorficznych i reprezentacji automorficznych nad ciałami globalnymi, czyli nad ciałami liczbowymi lub globalnymi ciałami funkcyjnymi^[6].

Jednym z podstawowych elementów programu jest hipoteza wzajemności Langlandsa. Uogólnia ona klasyczną teorię ciał klas i przewiduje związek między reprezentacjami grup Galois a reprezentacjami automorficznymi^[2][3].

W szczególności Langlands przypisał reprezentacjom automorficznym funkcje L i postawił hipotezę, że funkcje L Artina, powstałe ze skończeniewymiarowych reprezentacji grup Galois, powinny odpowiadać funkcjom L pochodzącym od reprezentacji automorficznych. W przypadku grupy GL(1) program sprowadza się zasadniczo do teorii ciał klas. Dla grup GL(n) i ogólniejszych grup reduktywnych problem jest znacznie trudniejszy.

Drugim centralnym pojęciem programu jest zasada funktorialności. Przewiduje ona, że odpowiednie homomorfizmy między tak zwanymi grupami L powinny prowadzić do zgodnych przejść między reprezentacjami automorficznymi różnych grup^[4].

Funktorialność porządkuje wiele szczegółowych hipotez programu i wskazuje, w jaki sposób wyniki dla jednej grupy mogą implikować wyniki dla innych grup.

Szczególny przypadek programu dla GL(1) jest równoważny teorii ciał klas. Ważne wyniki uzyskano także dla ciał funkcyjnych. Władimir Drinfeld rozwiązał przypadek GL(2), a Laurent Lafforgue udowodnił globalną korespondencję Langlandsa dla GL(n) nad globalnymi ciałami funkcyjnymi. Za ten wynik otrzymał Medal Fieldsa w 2002 roku^[7].

Dla lokalnej korespondencji Langlandsa istotne wyniki uzyskali m.in. Philip Kutzko, Gérard Laumon, Michael Rapoport, Ulrich Stuhler, Michael Harris, Richard Taylor, Guy Henniart i Peter Scholze^{[8][9][10][11][12]}.

Istotnym krokiem w rozwoju programu był również dowód lematu fundamentalnego przez Ngô Bảo Châu, opublikowany w 2010 roku. Lemat ten, sformułowany przez Langlandsa i Dianę Shelstad, odgrywa ważną rolę w zastosowaniach wzoru śladu^[13][14].

Andrew Wiles w swoim dowodzie wielkiego twierdzenia Fermata wykorzystuje idee bliskie programowi Langlandsa, zwłaszcza związek reprezentacji Galois pochodzących od krzywych eliptycznych z formami modularnymi. Wiles, a następnie Wiles wraz z Taylorem, udowodnili modularność odpowiedniej klasy krzywych eliptycznych nad liczbami wymiernymi, co wystarczyło do dowodu twierdzenia Fermata^[15][16].

Odmianą programu jest geometryczny program Langlandsa, rozwijany m.in. w pracach Drinfelda, Laumona, Alexandra Beilinsona, Dennisa Gaitsgory’ego i innych matematyków. W tej wersji zasadniczą rolę odgrywają krzywe algebraiczne, snopy, przestrzenie moduli i metody teorii kategorii^[17].

Współczesne prace nad geometrycznym programem Langlandsa doprowadziły do sformułowań kategorycznych oraz związków z fizyką matematyczną. W 2024 roku zespół kierowany przez Gaitsgory’ego i Sama Raskina ogłosił serię prac poświęconych dowodowi geometrycznej hipotezy Langlandsa^[18][19].

Z lokalnym programem Langlandsa związana jest także geometryzacja zaproponowana przez Laurenta Farguesa i Petera Scholzego, wykorzystująca krzywą Farguesa–Fontaine^[20].

• Forma automorficzna
• Forma modularna
• Grupa Galois
• Krzywa eliptyczna

• Edward Frenkel: Love and Math: The Heart of Hidden Reality. New York: Basic Books, 2013. ISBN 978-0-465-05074-1. (ang.).