Prosta pochyła

O prostej ${\displaystyle p}$ mówimy, że jest pochyłą do prostej ${\displaystyle q,}$ jeśli:

• ${\displaystyle p}$ jest różna od ${\displaystyle q,}$
• ${\displaystyle p}$ przecina ${\displaystyle q,}$
• ${\displaystyle p}$ nie jest prostopadła do ${\displaystyle q.}$

Definicja bardziej zwięzła:

Pochyłą do prostej ${\displaystyle q}$ nazywamy prostą ${\displaystyle p}$ przecinającą prostą ${\displaystyle q}$ pod kątem różnym od prostego^[1]

Można także definiować prostą pochyłą do płaszczyzny:

Pochyłą do płaszczyzny ${\displaystyle \alpha }$ nazywamy prostą ${\displaystyle p}$ przecinającą płaszczyznę ${\displaystyle \alpha }$ pod kątem różnym od prostego^[1]

• Jeśli prosta ${\displaystyle p}$ jest pochyła do prostej ${\displaystyle q,}$ a prosta ${\displaystyle r}$ jest prostopadła do prostej ${\displaystyle q,}$ to proste ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle r}$ przecinają się.

Punkt ${\displaystyle C}$ przecięcia prostych ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle r}$ znajduje się w odległości ${\displaystyle {\frac {AB}{\cos \alpha }}}$ od punktu ${\displaystyle A}$ przecięcia prostych ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ i w odległości ${\displaystyle AB\operatorname {ctg} \alpha }$ od punktu ${\displaystyle B}$ przecięcia prostych ${\displaystyle q}$ i ${\displaystyle r.}$

• Jeśli dwie pochyłe do prostej ${\displaystyle p}$ tworzą z tą prostą różne kąty ostre, to przecinają się.

• Jeśli prosta ${\displaystyle p}$ jest pochyła do prostej ${\displaystyle q,}$ to istnieje taka prosta ${\displaystyle r}$ prostopadła do ${\displaystyle q,}$ która jest równoległa do ${\displaystyle p}$^[a].

Dowód. Niech ${\displaystyle A}$ niech będzie punktem przeciecia prostych ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q,}$ a ${\displaystyle \alpha }$ niech będzie kątem ostrym między nimi. Jeśli ${\displaystyle B}$ jest takim punktem prostej ${\displaystyle q,}$ że ${\displaystyle \alpha =\Pi (AB),}$ gdzie ${\displaystyle \Pi (AB)}$ jest kątem rówmnoległości odpowiadającym odcinkowi AB i kąt ostry między prostą ${\displaystyle p}$ i półprostą AB jest równy ${\displaystyle \alpha .}$ Wtedy prosta ${\displaystyle r}$ prostopadła do prostej ${\displaystyle q}$ przechodząca przez punkt ${\displaystyle B}$ jest równoległa do ${\displaystyle p.}$

• Z dowodu poprzedniej własności wynika, że istnieją proste prostopadłe do prostej ${\displaystyle p,}$ które nie są równoległe do pochyłej ${\displaystyle q}$ i nie przecinają jej^[b]. Własność tę ma prostopadła do ${\displaystyle q}$ przechodząca przez każdy punkt ${\displaystyle C}$ półprostej otwartej B\A^[c] Punkty takiej prostopadłej najpierw zbliżają się do pochyłej, do momentu, gdy obie proste mają wspólną prostopadłą, a następnie oddalają się od pochyłej i odległość ta dąży do nieskończoności^[2].

• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982. (ros.).
• Иовлев Н.Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930. (ros.).