Przykłady grup

Jest to spis przykładowych grup w sensie matematycznym, pochodzących z różnych działów matematyki, zarówno elementarnej, jak i wyższej. Przykładów grup dostarczają między innymi teoria mnogości, arytmetyka, algebra i geometria – grupy są tworzone między innymi przez zbiory, liczby, funkcje, macierze i wektory. Poniższa lista ma kilkadziesiąt punktów, przy czym niektóre z nich są opisem nieskończonych zbiorów grup.

W tych grupach działaniem jest dodawanie. Takie grupy bywają zaliczane do addytywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

• Liczby całkowite^[2][3] ${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$
  • liczby parzyste lub dowolny zbiór wielokrotności ustalonej liczby całkowitej^[4] ${\displaystyle n\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ;}$
  • w szczególności zero z dodawaniem to przykład grupy trywialnej^[5];
• liczby wymierne^[4][3] ${\displaystyle \mathbb {Q} ;}$
• liczby rzeczywiste^[4][3] ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$
  • liczby rzeczywiste postaci ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$, gdzie liczby ${\displaystyle a,b}$ są wymierne^[6]: ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} ;}$
• liczby zespolone^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} ;}$
• liczby całkowite modulo dowolna liczba całkowita dodatnia^[7] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},n\in \mathbb {Z} _{+};}$
• liczby rzeczywiste modulo jeden: ${\displaystyle \mathbb {R} /(1).}$ Jest to przedział półotwarty liczb nieujemnych poniżej jedynki – czyli ${\displaystyle [0;1)}$ – a działaniem jest^[8]:

${\displaystyle a\oplus b={\begin{cases}a+b&{\text{dla }}a+b<1\\a+b-1&{\text{dla }}a+b\geqslant 1;\end{cases}}}$

• analogiczny zbiór liczb rzeczywistych modulo dowolna liczba rzeczywista dodatnia^[9]: ${\displaystyle \mathbb {R} /(d),d\in \mathbb {R} _{+};}$
  • analogiczny zbiór liczb wymiernych modulo dowolna liczba wymierna dodatnia^[9]: ${\displaystyle \mathbb {Q} /(d),d\in \mathbb {Q} _{+}.}$

• Potęgi kartezjańskie powyższych zbiorów – zbiory krotek złożonych z ich elementów, np. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times ...\times \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ^{n},\ \mathbb {R} ^{n},\ \mathbb {C} ^{n}}$ itd., z dodawaniem odpowiednich elementów^[9]:

${\displaystyle (a_{i})_{i=1}^{n}+(b_{i})_{i=1}^{n}=(a_{i}+b_{i})_{i=1}^{n}.}$

Niektóre z nich są nazywane przestrzeniami współrzędnych, a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ – przestrzeniami kartezjańskimi^[10];

• wektory na prostej, płaszczyźnie lub w dowolnej innej przestrzeni euklidesowej^[9];
• zbiory wielomianów o współczynnikach z powyższych grup: ${\displaystyle \mathbb {Z} [X],\ \mathbb {Q} [X],\ \mathbb {R} [X],\ \mathbb {C} [X]}$ itp.^[11]

W poniższych grupach działaniem jest mnożenie liczb:

• niezerowe liczby wymierne^[11][3] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\neq 0};}$
  • jedynka i minus jedynka^[4] ${\displaystyle \{1,-1\};}$
  • dodatnie liczby wymierne^[7][3] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+};}$
  • jedynka z mnożeniem to inny przykład grupy trywialnej^[5];
• niezerowe liczby rzeczywiste^[4][3] ${\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0};}$
  • dodatnie liczby rzeczywiste^[4][3] ${\displaystyle \mathbb {R} _{+};}$
  • liczby rzeczywiste postaci ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$, gdzie liczby ${\displaystyle a,b}$ są wymierne i nie są jednocześnie zerowe: ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} ,(a,b)\neq (0,0)}$^[12];
• niezerowe liczby zespolone^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} _{\neq 0};}$
  • liczby zespolone o module jednostkowym^[4][3] – grupa okręgu ${\displaystyle \mathbb {C} _{1};}$
  • pierwiastki algebraiczne ustalonego stopnia z jedynki^[13]: ${\displaystyle \mathbb {E} _{n}=\{z\in \mathbb {C} :z^{n}=1\}.}$

Takie grupy bywają zaliczane do multiplikatywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

W ich przypadku działaniem jest złożenie funkcji. Elementami takich grup są funkcje, które jednocześnie:

• są wzajemnie jednoznaczne (bijektywne);
• mają przeciwdziedzinę równą dziedzinie – są to działania jednoargumentowe: ${\displaystyle f:X\to X.}$

• Rzeczywiste funkcje 1. stopnia^[14]:

${\displaystyle f(x)=ax+b,\ a\in \mathbb {R} _{\neq 0},b\in \mathbb {R} ;}$

• uogólnienie powyższych – rzeczywiste homografie^[15]:

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},\ a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\ }$${\displaystyle ad-bc\neq 0;}$

• cztery przykłady takich homografii, konkretniej proporcjonalności – dwóch prostych i dwóch odwrotnych^[14]:

${\displaystyle id(x)=x,\ f(x)=-x,\ g(x)={\frac {1}{x}},}$

${\displaystyle h(x)=f\circ g(x)=g\circ f(x)=-{\frac {1}{x}};}$

Tablica Cayleya tej grupy^[16]:

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle id}$	${\displaystyle f}$	${\displaystyle g}$	${\displaystyle h}$
${\displaystyle id}$	${\displaystyle id}$	${\displaystyle f}$	${\displaystyle g}$	${\displaystyle h}$
${\displaystyle f}$	${\displaystyle f}$	${\displaystyle id}$	${\displaystyle h}$	${\displaystyle g}$
${\displaystyle g}$	${\displaystyle g}$	${\displaystyle h}$	${\displaystyle id}$	${\displaystyle f}$
${\displaystyle h}$	${\displaystyle h}$	${\displaystyle g}$	${\displaystyle f}$	${\displaystyle id}$

• sześć przykładów rzeczywistych homografii^[15]:

${\displaystyle id(x)=x,\ f(x)=1-x,\ g(x)={\frac {1}{x}},}$

${\displaystyle k(x)=f\circ g(x)=1-{\frac {1}{x}}={\frac {x-1}{x}};}$

${\displaystyle l(x)=g\circ f(x)={\frac {1}{1-x}};}$

${\displaystyle m(x)=g\circ k(x)={\frac {x}{x-1}};}$

• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których ${\displaystyle f(1)=1}$, czyli jedynka jest punktem stałym^[17]; por. stabilizator;
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których ${\displaystyle f(\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }$ – obrazem zbioru liczb wymiernych jest on sam^[17]; por. zbiór niezmienniczy;
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są rosnące^[17];
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są ściśle monotoniczne^[17].

• Grupy bijekcji – zbiór wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru w siebie, czasem też nazywany grupą symetryczną^[19] ${\displaystyle S_{X},}$ gdzie ${\displaystyle X}$ to dowolny zbiór;
  • grupy permutacji – bijekcji zbioru skończonego w siebie^[20] ${\displaystyle S_{n},n\in \mathbb {N} ;}$
  • grupy alternujące – permutacji parzystych ustalonego zbioru^[21] ${\displaystyle A_{n},n\in \mathbb {N} ;}$
  • funkcja tożsamościowa na dowolnym zbiorze ${\displaystyle id(x)=x}$ to inny przykład grupy trywialnej^[5];
• grupa izometrii płaszczyzny euklidesowej^[14]: ${\displaystyle I(E^{2});}$
  • grupy diedralne – wszystkich izometrii własnych wielokąta foremnego^[22]: ${\displaystyle D_{n},n\in \mathbb {N} _{\geqslant 3};}$
• pełne grupy liniowe – grupy wszystkich izomorfizmów liniowych ustalonej przestrzeni liniowej: ${\displaystyle {\text{GL}}(n,K),}$ gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ a ${\displaystyle K}$ to dowolne ciało^[23]. Inne znaczenie terminu pełna grupa liniowa, związane z macierzami kwadratowymi, podano niżej.

Macierze kwadratowe:

• odwracalne (nieosobliwe) elementów ustalonego ciała^[24] i ustalonego wymiaru – taka grupa to jedno ze znaczeń terminu pełna grupa liniowa^[25][26]: ${\displaystyle {\text{GL}}(n,K).}$ Inne znaczenie tej nazwy podano wyżej;
• postaci^[27]: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {R} ;}$
• postaci^[15]: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}(-1)^{a}&a\\0&(-1)^{a}\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {Z} ;}$
• postaci^[14]: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {C} .}$

Grupy są też tworzone przez działania dwuargumentowe inne niż dodawanie, mnożenie liczb, złożenie funkcji czy mnożenie macierzy.

• Liczby całkowite ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ z działaniem^[27]: ${\displaystyle a\oplus b=(-1)^{a}a+(-1)^{b}b;}$
• liczby wymierne bez jedynki ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\neq 1}}$ z działaniem^[3]: ${\displaystyle a*b=a+b-ab;}$
• przedział otwarty ${\displaystyle (1;+\infty )}$ z działaniem^[28]: ${\displaystyle a*b=ab-a-b+2.}$

• Podzbiory ustalonego zbioru – czyli zbiór potęgowy – z działaniem różnicy symetrycznej^[29][15]: ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ),}$ gdzie:
  • ${\displaystyle X}$ to dowolny zbiór;
  • ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ – jego zbiór potęgowy;
  • ${\displaystyle \Delta }$ to różnica symetryczna: ${\displaystyle A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).}$
• Jeśli ${\displaystyle (G,*)}$ jest dowolną grupą, a ${\displaystyle X}$ – dowolnym zbiorem, to grupą jest też zbiór wszystkich funkcji na tym zbiorze i o wartościach w tej grupie, z odpowiednim działaniem na tych funkcjach^[3]:

${\displaystyle G^{X}:=\{f:X\to G\},}$

${\displaystyle (f*g)(x):=f(x)*g(x);}$

• Jeśli jednocześnie:
  • ${\displaystyle (G_{1},*)}$ jest dowolną grupą;
  • ${\displaystyle f:G_{1}\to G_{2}}$ jest dowolną bijekcją na zbiorze ${\displaystyle G_{1};}$
  • działanie dwuargumentowe ${\displaystyle \odot :G_{2}^{2}\to G_{2}}$ jest zdefiniowane wzorem

${\displaystyle a\odot b:=f(f^{-1}(a)*f^{-1}(b)),}$

to ${\displaystyle (G_{2},\odot )}$ jest grupą^[27].

• Grupa czwórkowa Kleina
• Grupa modularna
• Grupa obrotów
  • Grupa SO(2)
• Symetria unitarna
  • Specjalna grupa unitarna
  • Grupa SU(2)
• Grupa kwaternionów
• Grupa Galileusza
• Grupa Poincarégo
  • Grupa Lorentza
• Grupa Heisenberga
• Grupa Mathieu
• Grupa monstrum
• Grupa Prüfera

• Maciej Bryński, Jerzy Jurkiewicz: Zbiór zadań z algebry. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985. ISBN 83-01-06575-3.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
• Marek Ptak, Karol Gryszka, Beata Hejmej: Algebra liniowa. Notatki do wykładu. Kraków: Wydawnictwo Szkolne Omega, 2019. ISBN 978-83-7267-734-1.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.