Reguła 72

Reguła 72 i Reguła 70 – reguły pozwalające aproksymować czas, który jest potrzebny by kapitał podwoił swą wartość (przy założeniu procentu składanego). Należy wówczas liczbę 70 (lub 72) podzielić przez wysokość rocznej stopy procentowej (wyrażonej w procentach). Reguła 70 pozwala na dobre przybliżenie dla niskich stóp procentowych (1–5%), podczas gdy dla wysokich stóp (5–10%) lepsze przybliżenie daje reguła 72.

Obliczymy czas, jaki jest potrzebny by kapitał podwoił swą wartość przy stopie procentowej równej 2%. Czas, który jest potrzebny to ${\displaystyle t={\frac {70}{2}}=35}$ lat.

Dokładny wzór:

${\displaystyle t(r)=\log _{1+r}2={\frac {\ln {2}}{\ln(1+r)}},}$

gdzie ${\displaystyle r={\frac {R}{100}}=R\%}$ to stopa procentowa.

Stąd:

${\displaystyle {\frac {1}{t(r)}}={\frac {\ln \left(1+r\right)}{\ln {2}}}.}$

Stosując interpolację liniową funkcji ${\displaystyle {\tfrac {1}{t(r)}}}$ z węzłami w punktach 0 i ${\displaystyle r_{0},}$ dostajemy:

${\displaystyle {\frac {1}{t(r)}}\approx {\frac {\ln \left(1+r_{0}\right)}{r_{0}\ln {2}}}r,}$

czyli:

${\displaystyle t(r)\approx {\frac {r_{0}\ln {2}}{r\ln(1+r_{0})}}.}$

Dla ${\displaystyle r_{0}=2\%}$ dostajemy:

${\displaystyle t(r)\approx {\frac {0{,}7000558}{r}}\approx {\frac {70}{R}}.}$

Dla ${\displaystyle r_{0}=8\%}$ dostajemy:

${\displaystyle t(r)\approx {\frac {0{,}7205174}{r}}\approx {\frac {72}{R}}.}$

Ponieważ interpolacja jest najdokładniejsza w węzłach, więc reguła 70 daje najdokładniejsze wyniki w okolicach stopy 2%, a reguła 72 w okolicach stopy 8%.